Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan et de l'espace. Sous-espaces vectoriels, combinaisons linéaires, familles libres et génératrices, notion de base et de dimension dans R² et R³.
L'ensemble des vecteurs du plan (noté R²) ou de l'espace (noté R³), muni de l'addition vectorielle et de la multiplication par un réel (scalaire), possède une structure d'espace vectoriel : ces deux opérations vérifient un ensemble de règles de calcul (associativité, existence du vecteur nul, opposé, distributivité) qui permettent de manipuler les vecteurs comme des nombres pour les combiner entre eux.
Un vecteur w⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs u⃗₁, …, u⃗ₙ s'il existe des réels λ₁, …, λₙ tels que w⃗ = λ₁u⃗₁ + λ₂u⃗₂ + ⋯ + λₙu⃗ₙ.
Une partie F non vide de R² (ou R³) est un sous-espace vectoriel si elle est stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire :
Dans R², toute droite vectorielle (droite passant par l'origine) est un sous-espace vectoriel. Dans R³, toute droite vectorielle et tout plan vectoriel (plan passant par l'origine) sont des sous-espaces vectoriels.
Soit F = {(x ; y) ∈ R² : y = 2x}. Vérifions que F est un sous-espace vectoriel :
• (0 ; 0) ∈ F car 0 = 2×0. ✔
• Soient u⃗=(x₁ ; 2x₁) et v⃗=(x₂ ; 2x₂) dans F : u⃗+v⃗=(x₁+x₂ ; 2x₁+2x₂)=(x₁+x₂ ; 2(x₁+x₂)) ∈ F. ✔
• Pour λ réel : λu⃗=(λx₁ ; 2λx₁) ∈ F. ✔
Les trois conditions sont vérifiées : F est un sous-espace vectoriel de R² (c'est la droite vectorielle dirigée par (1 ; 2)).
Une famille de vecteurs (u⃗₁, …, u⃗ₙ) est dite liée s'il existe des réels λ₁, …, λₙ, non tous nuls, tels que λ₁u⃗₁+⋯+λₙu⃗ₙ = 0⃗ (au moins un vecteur est alors combinaison linéaire des autres). Elle est dite libre dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsque la seule combinaison linéaire nulle est celle où tous les λᵢ sont nuls.
Deux vecteurs u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') de R² sont colinéaires (donc liés) si, et seulement si, leur déterminant est nul :
S'il est non nul, les deux vecteurs forment une famille libre.
u⃗=(2 ; 3), v⃗=(4 ; 6) : det = 2×6−3×4 = 12−12 = 0 → famille liée (v⃗=2u⃗).
u⃗=(1 ; 2), v⃗=(3 ; 1) : det = 1×1−2×3 = 1−6 = −5 ≠ 0 → famille libre.
Une famille de vecteurs est génératrice de R² (ou R³) si tout vecteur de R² (ou R³) peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Une famille à la fois libre et génératrice est appelée base.
Toutes les bases d'un espace vectoriel ont le même nombre de vecteurs : c'est la dimension de l'espace. On a dim(R²) = 2 et dim(R³) = 3. Ainsi :
u⃗=(1 ; 1), v⃗=(1 ; −1) : det = 1×(−1)−1×1 = −2 ≠ 0, donc (u⃗,v⃗) est libre. Comme dim(R²)=2, une famille libre de 2 vecteurs est automatiquement génératrice de R² : (u⃗,v⃗) est une base de R².
Soit F = {(x ; y) ∈ R² : x + y = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R².
• 0⃗=(0;0) : 0+0=0, donc (0;0) ∈ F. ✔
• Soient u⃗=(x₁;−x₁) et v⃗=(x₂;−x₂) dans F. u⃗+v⃗=(x₁+x₂ ; −x₁−x₂)=(x₁+x₂ ; −(x₁+x₂)) : la somme des coordonnées vaut bien 0, donc u⃗+v⃗ ∈ F. ✔
• λu⃗=(λx₁ ; −λx₁), somme des coordonnées = λx₁−λx₁ = 0, donc λu⃗ ∈ F. ✔
Les trois conditions étant vérifiées, F est un sous-espace vectoriel de R² (droite vectorielle dirigée par (1 ; −1)).
Pour chaque couple de vecteurs, calculer le déterminant et dire si la famille est libre ou liée :
Soient u⃗=(1 ; 0), v⃗=(0 ; 1) et w⃗=(3 ; −2) dans R². Justifier que la famille (u⃗,v⃗,w⃗) est liée, puis exprimer w⃗ comme combinaison linéaire de u⃗ et v⃗.
Comme dim(R²)=2, toute famille de 3 vecteurs de R² est automatiquement liée.
On cherche a, b tels que w⃗ = a u⃗ + b v⃗ : (3 ; −2) = a(1;0)+b(0;1) = (a ; b), d'où a=3 et b=−2.
On a bien trouvé une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls (1, −3, 2), ce qui confirme que la famille est liée.
Soient u⃗=(1 ; 1) et v⃗=(1 ; −1).
Vérification : 3u⃗+2v⃗ = 3(1;1)+2(1;−1) = (3;3)+(2;−2) = (5;1) = w⃗. ✅
Soient u⃗=(1 ; 0 ; 1), v⃗=(0 ; 1 ; 1) et w⃗=(1 ; 1 ; 0).
Vérification : 0·u⃗+1·v⃗+2·w⃗ = (0,1,1)+(2,2,0) = (2,3,1) = t⃗. ✅ Donc t⃗ = v⃗ + 2w⃗.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour qu'une partie F soit un sous-espace vectoriel, il faut notamment que :
Une famille de vecteurs est dite liée lorsque :
Dans R², u⃗(x;y) et v⃗(x';y') sont colinéaires si, et seulement si :
La dimension de R² est :
Dans R², toute famille de 3 vecteurs ou plus est :
Une famille génératrice de R² est une famille telle que :
Une base d'un espace vectoriel est une famille :
Une base de R³ doit contenir exactement :
u⃗=(2 ; 4) et v⃗=(1 ; 2) : la famille (u⃗,v⃗) est-elle libre ou liée ?
Si une famille libre de R² possède exactement 2 vecteurs, alors elle est :
