Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan et de l'espace. Produit scalaire, orthogonalité, équation normale d'une droite, distance d'un point à une droite et calcul d'angles.
Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y'), le produit scalaire de u⃗ et v⃗ est le réel :
Si u⃗ et v⃗ sont non nuls et θ est une mesure de l'angle géométrique (u⃗, v⃗), alors :
Les deux définitions sont équivalentes et permettent, l'une de calculer un produit scalaire à partir des coordonnées, l'autre d'en déduire un angle.
u⃗=(3 ; −2), v⃗=(4 ; 1) : u⃗·v⃗ = 3×4 + (−2)×1 = 12 − 2 = 10.
Le produit scalaire est symétrique (u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗), bilinéaire (u⃗·(v⃗+w⃗) = u⃗·v⃗+u⃗·w⃗ et (ku⃗)·v⃗ = k(u⃗·v⃗)), et vérifie u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖².
Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont orthogonaux (u⃗⊥v⃗) si, et seulement si, u⃗ · v⃗ = 0.
u⃗=(4 ; −3), v⃗=(3 ; 4) : u⃗·v⃗ = 4×3 + (−3)×4 = 12 − 12 = 0. Les vecteurs u⃗ et v⃗ sont donc orthogonaux.
Une droite D passant par A(xA ; yA) et de vecteur normal n⃗(a ; b) (vecteur orthogonal à la direction de D) a pour équation :
Réciproquement, toute droite d'équation ax+by+c=0 admet n⃗(a ; b) comme vecteur normal, et tout vecteur directeur d⃗(u ; v) de D vérifie n⃗ · d⃗ = 0, soit au+bv=0.
Droite D passant par A(2 ; −1), de vecteur normal n⃗(3 ; 4) :
Soit D : ax+by+c=0 et M(x₀ ; y₀) un point du plan. La distance de M à D est :
Distance de M(1 ; 2) à la droite D : 3x+4y−2=0 (obtenue ci-dessus) :
Si u⃗ et v⃗ sont non nuls, une mesure θ de l'angle (u⃗, v⃗) vérifie :
u⃗=(1 ; 0), v⃗=(1 ; 1) : ‖u⃗‖=1, ‖v⃗‖=√2, u⃗·v⃗=1×1+0×1=1.
Calculer les produits scalaires suivants et préciser lorsqu'il y a orthogonalité :
Soient u⃗=(3 ; 4) et v⃗=(1 ; 0). Calculer ‖u⃗‖, ‖v⃗‖, u⃗·v⃗, puis cos θ où θ est une mesure de l'angle (u⃗,v⃗).
‖u⃗‖ = √(3²+4²) = √25 = 5. ‖v⃗‖ = √(1²+0²) = 1. u⃗·v⃗ = 3×1+4×0 = 3.
Donc cos θ = 0,6, soit θ = arccos(0,6) ≈ 53,13°.
Déterminer une équation de la droite D passant par A(1 ; 2) et de vecteur normal n⃗(2 ; −1). Vérifier que B(3 ; 6) appartient à D. Donner un vecteur directeur de D.
Pour B(3 ; 6) : 2×3−6 = 6−6 = 0. B vérifie l'équation, donc B ∈ D.
Un vecteur directeur d⃗(u ; v) de D vérifie n⃗·d⃗ = 0, soit 2u−v=0. En prenant u=1, on trouve v=2 : d⃗(1 ; 2) est un vecteur directeur de D.
Calculer la distance du point M(2 ; −3) à la droite D d'équation 3x − 4y + 5 = 0.
La distance de M à D est 4,6 unités.
Dans un repère orthonormé (en km), une route rectiligne est modélisée par la droite D d'équation x − 2y + 4 = 0. Un entrepôt est situé au point M(6 ; 1).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour u⃗(x;y) et v⃗(x';y'), le produit scalaire u⃗·v⃗ vaut :
Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si, et seulement si :
Pour tout vecteur u⃗, on a u⃗ · u⃗ égal à :
La formule permettant de calculer un angle θ entre deux vecteurs non nuls est :
u⃗=(1 ; 2) et v⃗=(2 ; −1) : u⃗ et v⃗ sont-ils orthogonaux ?
Une droite passant par A(xA;yA) de vecteur normal n⃗(a;b) a pour équation :
La distance d'un point M(x₀;y₀) à une droite D : ax+by+c=0 est donnée par :
Distance du point M(0 ; 0) à la droite D : x+y−3=0 :
Un vecteur directeur d⃗ d'une droite de vecteur normal n⃗ vérifie toujours :
La propriété de bilinéarité du produit scalaire s'écrit :
