Objectif Général 3 — Analyse. Ensemble de définition, parité, sens de variation et opérations sur les fonctions numériques, préalables à l'étude des limites.
Une fonction numérique f associe à tout réel x d'un ensemble Df, appelé ensemble (ou domaine) de définition, un unique réel noté f(x), appelé image de x par f. L'ensemble Df regroupe tous les réels pour lesquels l'expression de f(x) a un sens (dénominateur non nul, quantité sous une racine positive ou nulle, etc.).
f(x) = 1/(x−2) : il faut x−2 ≠ 0, donc Df = R \ {2}.
g(x) = √(3x−6) : il faut 3x−6 ≥ 0, soit x ≥ 2, donc Dg = [2 ; +∞[.
h(x) = (2x+1)/(x²−4) : il faut x²−4 ≠ 0, soit x ≠ 2 et x ≠ −2, donc Dh = R \ {−2 ; 2}.
Soit f une fonction dont le domaine de définition Df est symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire que x ∈ Df ⟺ −x ∈ Df). f est dite :
f(x) = x² − 3 : f(−x) = (−x)²−3 = x²−3 = f(x) → f est paire.
g(x) = x³ − 2x : g(−x) = −x³+2x = −(x³−2x) = −g(x) → g est impaire.
h(x) = x² + x : h(−x) = x²−x. Or x²−x ≠ x²+x et x²−x ≠ −(x²+x) en général → h n'est ni paire ni impaire.
Pour x₁ ≠ x₂ dans Df, le taux de variation de f entre x₁ et x₂ est [f(x₂)−f(x₁)] / (x₂−x₁). Sur un intervalle I ⊂ Df, f est :
f(x) = −x²+4 sur [0 ; +∞[. Pour 0 ≤ x₁ < x₂ :
Comme x₁,x₂ ≥ 0 et x₂ > x₁ ≥ 0, on a x₁+x₂ > 0, donc le taux vaut −(x₁+x₂) < 0 : f est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
Si f et g sont deux fonctions, on définit (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)×g(x), (f/g)(x)=f(x)/g(x) (défini si g(x)≠0), et la composée (f∘g)(x) = f(g(x)) : on applique d'abord g, puis f au résultat. Attention, en général f∘g ≠ g∘f.
f(x) = x²+1, g(x) = 2x−3.
On constate bien que f∘g ≠ g∘f.
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
Étudier la parité des fonctions suivantes (Df = R dans chaque cas) :
Étudier le sens de variation des fonctions suivantes en utilisant le taux de variation :
Soient f(x) = √x (Df=[0;+∞[) et g(x) = x−4.
Une entreprise commerciale réalise un bénéfice (en milliers de FCFA) modélisé par B(x) = −2x² + 20x − 18, où x représente le nombre de centaines d'unités vendues, avec 0 ≤ x ≤ 10.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x) = 1/(x−5) est :
L'ensemble de définition de g(x) = √(2x−8) est :
Une fonction f (de domaine symétrique par rapport à 0) est dite paire lorsque :
La fonction f(x) = x² − 1 est :
La fonction g(x) = x³ est :
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I lorsque son taux de variation entre deux points quelconques de I est :
Le taux de variation de f(x) = 5x+2 entre deux points quelconques vaut :
La composée (f∘g)(x) désigne :
Soit f(x)=x² et g(x)=x+1. La valeur de (f∘g)(2) est :
Graphiquement, une fonction impaire a une courbe :
