Objectif Général 3 — Analyse. Limite finie ou infinie en un point ou à l'infini, opérations sur les limites, formes indéterminées et asymptotes.
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a, sauf peut-être en a, et L un nombre réel. On dit que f admet pour limite L en a, et on note lim(x→a) f(x) = L, lorsque f(x) se rapproche autant qu'on veut de L dès que x se rapproche suffisamment de a.
lim(x→a⁻) f(x) désigne la limite quand x tend vers a par valeurs inférieures ; lim(x→a⁺) f(x) quand x tend vers a par valeurs supérieures.
f admet une limite en a si, et seulement si, les limites à gauche et à droite existent et sont égales. On a alors lim(x→a) f(x) = lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x).
Soit f(x) = (x² − 1)/(x − 1), définie pour x ≠ 1. On factorise : x² − 1 = (x − 1)(x + 1), donc pour x ≠ 1 :
Donc lim(x→1) f(x) = 1 + 1 = 2, bien que f(1) ne soit pas défini.
Lorsque f(x) devient aussi grand (ou aussi petit) que l'on veut quand x se rapproche de a, on dit que f a une limite infinie en a : lim(x→a) f(x) = +∞ ou −∞.
Si lim(x→a⁻) f(x) ou lim(x→a⁺) f(x) vaut +∞ ou −∞, alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f.
Soit f(x) = 1/(x − 3). Quand x → 3⁺, (x − 3) → 0⁺ (petit positif), donc f(x) → +∞. Quand x → 3⁻, (x − 3) → 0⁻ (petit négatif), donc f(x) → −∞. La droite x = 3 est asymptote verticale.
On étudie le comportement de f(x) lorsque x devient infiniment grand (x → +∞) ou infiniment petit (x → −∞).
Si lim(x→+∞) f(x) = L (nombre réel fini), alors la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe en +∞ (raisonnement identique en −∞).
Soit f(x) = (2x + 1)/(x − 1). On met x en facteur au numérateur et au dénominateur (x ≠ 0) :
Quand x → +∞, 1/x → 0, donc f(x) → 2/1 = 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale.
Si f et g ont des limites finies L et L' en a, alors : lim(f+g) = L+L' ; lim(f×g) = L×L' ; lim(f/g) = L/L' si L' ≠ 0.
Si l'une des limites est infinie, on applique les règles usuelles sur les infinis (somme, produit, quotient), sauf dans quatre situations où l'on ne peut rien conclure directement.
| Forme indéterminée | Exemple | Technique de calcul |
|---|---|---|
| 0 / 0 | (x²−9)/(x−3) en x=3 | Factorisation |
| ∞ / ∞ | (2x²+1)/(x²−3) en +∞ | Facteur du terme dominant |
| ∞ − ∞ | √(x²+1) − x en +∞ | Quantité conjuguée |
| 0 × ∞ | x × (1/x) transformé | Réécrire en quotient |
lim(x→3) (x²−9)/(x−3) : on factorise x² − 9 = (x−3)(x+3), donc le quotient vaut (x+3) pour x≠3, d'où la limite = 3+3 = 6.
lim(x→+∞) [√(x²+1) − x] : on multiplie et divise par la quantité conjuguée √(x²+1)+x :
Quand x → +∞, le dénominateur tend vers +∞, donc la limite vaut 0.
En +∞ ou en −∞ : la limite d'une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré. La limite d'une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
lim(x→−∞) (−2x³ + 5x² − 1) = lim(x→−∞) (−2x³). Quand x → −∞, x³ → −∞, donc −2x³ → +∞.
lim(x→+∞) (3x²−x+4)/(6x²+2) = lim(x→+∞) 3x²/6x² = 3/6 = 1/2.
Calculer les limites suivantes (aucune forme indéterminée) :
Calculer les limites suivantes :
Calculer, après avoir levé l'indétermination :
Calculer, en utilisant la quantité conjuguée :
Une entreprise commerciale fabrique x centaines d'unités d'un article. Le coût total de production (en milliers de francs CFA) est donné par C(x) = 2x² + 50x + 200, pour x > 0. Le coût moyen par centaine d'unités est Cm(x) = C(x)/x.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
lim(x→2) (3x − 1) est égale à :
lim(x→+∞) (x² − 3x) est égale à :
lim(x→−∞) (−2x³ + x) est égale à :
lim(x→3) (x²−9)/(x−3) est égale à :
Une forme indéterminée 0/0 apparaît lorsque :
lim(x→+∞) (2x+1)/(x+5) est égale à :
La droite y = L est asymptote horizontale à la courbe de f lorsque :
lim(x→0) [√(x+1) − 1] / x est égale à :
Si lim(x→a⁺) f(x) = +∞, alors la courbe de f admet :
Parmi les formes suivantes, laquelle n'est PAS une forme indéterminée ?
