Objectif Général 3 — Analyse. Continuité en un point, continuité sur un intervalle, et prolongement par continuité.
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a. On dit que f est continue en a lorsque :
Autrement dit : f(a) existe, la limite de f en a existe, et ces deux valeurs sont égales.
Soit f(x) = x² − 3x + 5. C'est une fonction polynôme, définie et continue sur ℝ. En x = 2 : f(2) = 4−6+5 = 3, et lim(x→2) f(x) = 3 (par substitution directe, car f est un polynôme). Comme les deux valeurs coïncident, f est continue en 2.
En revanche, g(x) = 1/x n'est pas définie en x = 0 : g(0) n'existe pas, donc g ne peut pas être continue en 0 (la question de la continuité ne se pose même pas en un point hors du domaine).
f est continue à gauche en a si lim(x→a⁻) f(x) = f(a). f est continue à droite en a si lim(x→a⁺) f(x) = f(a). f est continue en a si, et seulement si, elle est continue à la fois à gauche et à droite en a.
Soit f(x) = x+1 si x < 1 ; f(x) = 3 si x = 1 ; f(x) = 2x si x > 1.
• lim(x→1⁻) f(x) = 1+1 = 2
• lim(x→1⁺) f(x) = 2×1 = 2
Les limites à gauche et à droite sont égales (= 2), donc lim(x→1) f(x) = 2. Mais f(1) = 3 ≠ 2 : f n'est donc pas continue en x = 1, malgré l'existence de la limite. La courbe présente un « trou » en (1 ; 2) et un point isolé en (1 ; 3).
f est continue sur un intervalle I lorsqu'elle est continue en chacun des points de I. Graphiquement, cela signifie que l'on peut tracer la courbe de f sur I sans lever le crayon.
• Toute fonction polynôme est continue sur ℝ tout entier.
• Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition (c'est-à-dire partout sauf aux valeurs qui annulent le dénominateur).
• La fonction racine carrée x ↦ √x est continue sur [0 ; +∞[.
• La fonction valeur absolue x ↦ |x| est continue sur ℝ.
• Une somme, un produit ou un quotient (dénominateur non nul) de fonctions continues est continu.
Soit f une fonction non définie en a, mais telle que lim(x→a) f(x) = L existe et est finie. On appelle prolongement par continuité de f en a la fonction F définie par F(x) = f(x) pour x ≠ a, et F(a) = L. La fonction F est alors continue en a.
Soit g(x) = (x² − 4)/(x − 2), définie pour x ≠ 2. On factorise :
Donc lim(x→2) g(x) = 2+2 = 4. Cette limite étant finie, on peut prolonger g par continuité en posant G(2) = 4. La fonction G ainsi obtenue (égale à x+2 partout, y compris en 2) est continue sur ℝ tout entier.
Un service de livraison facture 2 000 FCFA le colis jusqu'à 5 kg inclus, puis 3 500 FCFA au-delà de 5 kg (jusqu'à 10 kg). La fonction tarif T(x) en fonction du poids x subit un saut à x = 5 : lim(x→5⁻) T(x) = 2000 alors que lim(x→5⁺) T(x) = 3500. Comme ces deux limites sont différentes, T n'a pas de limite en 5 et n'est donc pas continue en x = 5 : c'est une fonction en escalier, typique des grilles tarifaires par paliers.
Répondre en justifiant :
Soit f(x) = x² si x ≤ 2, et f(x) = 4x − 4 si x > 2.
Un artisan facture ses prestations selon la durée x (en heures) : P(x) = 5000x si x ≤ 3, et P(x) = 4000x + 6000 si x > 3 (un forfait avantageux au-delà de 3h).
Soit g(x) = (x² − 9)/(x − 3), définie pour x ≠ 3.
On considère la fonction f définie par : f(x) = 3x + a si x < 1, et f(x) = x² + 2 si x ≥ 1, où a est un réel à déterminer.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
f est continue en a signifie que :
La fonction f(x) = x² − 1 est-elle continue en x = 0 ?
La fonction g(x) = 1/x est-elle continue en x = 0 ?
Soit f(x)=x+1 si x<1, f(1)=3, f(x)=2x si x>1. Que vaut lim(x→1⁻) f(x) ?
Pour la même fonction (question précédente), f est-elle continue en x = 1 ?
Prolonger une fonction par continuité en un point a non défini consiste à :
La fonction racine carrée x ↦ √x est continue sur :
Une fonction polynôme est continue :
Soit f(x)=2x+a si x≤1, f(x)=x²+3 si x>1. Quelle valeur de a rend f continue en x=1 ?
Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle se reconnaît par :
