Objectif Général 3 — Analyse. Nombre dérivé, tangente à une courbe, fonction dérivée et formules usuelles de dérivation, applications au coût marginal.
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite (si elle existe) du taux de variation :
Graphiquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Équation de la tangente :
Soit f(x) = x². Calculons f'(a) :
Donc f'(x) = 2x. En a = 3 : f'(3) = 6 et f(3) = 9. Tangente : y = 6(x−3) + 9 = 6x − 9.
| Fonction f | Dérivée f' |
|---|---|
| f(x) = k (constante) | f'(x) = 0 |
| f(x) = x | f'(x) = 1 |
| f(x) = xⁿ | f'(x) = n·xⁿ⁻¹ |
| f(x) = 1/x | f'(x) = −1/x² |
| f(x) = √x | f'(x) = 1/(2√x) |
| f(x) = sin x | f'(x) = cos x |
| f(x) = cos x | f'(x) = −sin x |
(u + v)' = u' + v' et (k·u)' = k·u' pour tout réel k.
f(x) = 3x² − 5x + 7. Dérivée terme à terme : f'(x) = 6x − 5.
(u·v)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v − uv') / v² (avec v ≠ 0)
f(x) = (2x+1)(x−3). Avec u=2x+1, u'=2, v=x−3, v'=1 :
Contrôle : f(x)=2x²−5x−3, donc f'(x)=4x−5 ✓.
g(x) = (x+1)/(x−2). Avec u=x+1, u'=1, v=x−2, v'=1 :
(uⁿ)' = n·uⁿ⁻¹·u' (√u)' = u' / (2√u)
f(x) = (3x−1)⁴. Avec u=3x−1, u'=3 : f'(x) = 4(3x−1)³×3 = 12(3x−1)³.
g(x) = √(2x+5). Avec u=2x+5, u'=2 : g'(x) = 2 / (2√(2x+5)) = 1/√(2x+5).
Si C(x) désigne le coût total de production de x unités, le coût marginal est Cm(x) = C'(x) : il approche le coût de production d'une unité supplémentaire.
C(x) = x² + 20x + 100 (en milliers F). Cm(x) = C'(x) = 2x + 20. Pour x=10 : Cm(10) = 40 (milliers F).
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
Soit f(x) = x² − 4x + 1. Calculer f'(x), puis donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a = 1.
f'(x) = 2x − 4, donc f'(1) = −2. Et f(1) = 1−4+1 = −2.
Tangente : y = f'(1)(x−1) + f(1) = −2(x−1) − 2 = −2x + 2 − 2 = y = −2x.
Calculer la dérivée de :
Calculer la dérivée de :
Le coût total de production de x unités (en milliers F) est C(x) = 0,5x² + 30x + 200, pour x ∈ [0 ; 100]. Le prix de vente unitaire est p = 70 (milliers F).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour f(x) = x², f'(x) est égal à :
Pour f(x) = 5x − 3, f'(x) est égal à :
Pour f(x) = x³, f'(x) est égal à :
La dérivée d'un produit (u·v)' est égale à :
La dérivée d'un quotient (u/v)' est égale à :
Pour f(x) = (x−2)(3x+1), f'(x) est égal à :
Pour g(x) = (2x−1)/(x+3), g'(x) est égal à :
Pour f(x) = (x²+1)³, f'(x) est égal à :
Le nombre dérivé f'(a) correspond graphiquement à :
Le coût marginal Cm(x) est défini comme :
