Objectif Général 4 — Trigonométrie. Cercle trigonométrique, lignes trigonométriques d'un angle, relations fondamentales, formules d'addition et de duplication.
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, muni d'une origine I (point de coordonnées (1;0)) et orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre), appelé sens trigonométrique.
Le radian (rad) est l'unité de mesure d'angle associée à la longueur de l'arc intercepté sur le cercle trigonométrique. Un tour complet mesure 2π rad, soit 360°.
π rad = 180°
Pour convertir : angle en rad = (angle en degrés × π) / 180 et angle en degrés = (angle en rad × 180) / π
60° en radians : 60 × π/180 = π/3 rad.
3π/4 rad en degrés : (3π/4) × 180/π = 135°.
À tout réel x, on associe sur le cercle trigonométrique un point M. Le cosinus de x, noté cos x, et le sinus de x, noté sin x, sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée de M. La tangente de x est définie par tan x = sin x / cos x, pour cos x ≠ 0.
Pour tout réel x : cos²x + sin²x = 1 (relation fondamentale).
De plus : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 pour tout x.
| Angle x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | non définie |
Pour x = π/3 : cos²(π/3) + sin²(π/3) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1. La relation est bien vérifiée.
• cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x
• cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x
• cos(π + x) = −cos x et sin(π + x) = −sin x
• cos(π/2 − x) = sin x et sin(π/2 − x) = cos x
• cos(π/2 + x) = −sin x et sin(π/2 + x) = cos x
Calculer cos(120°) et sin(120°). On écrit 120° = 180° − 60°, donc :
cos(120°) = cos(180° − 60°) = −cos(60°) = −1/2
sin(120°) = sin(180° − 60°) = sin(60°) = √3/2
cos(a + b) = cos a·cos b − sin a·sin b
cos(a − b) = cos a·cos b + sin a·sin b
sin(a + b) = sin a·cos b + cos a·sin b
sin(a − b) = sin a·cos b − cos a·sin b
On écrit 75° = 45° + 30°. Avec les valeurs remarquables :
Numériquement : cos(75°) ≈ 0,259 et sin(75°) ≈ 0,966.
cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
sin(2a) = 2·sin a·cos a
tan(2a) = 2tan a / (1 − tan²a) (pour tan a et tan 2a définies)
Pour a = π/6 (2a = π/3) : cos(π/3) = 2cos²(π/6) − 1 = 2×(3/4) − 1 = 1/2, ce qui correspond bien à la valeur connue de cos(π/3).
sin(π/3) = 2·sin(π/6)·cos(π/6) = 2×(1/2)×(√3/2) = √3/2, ce qui correspond bien à la valeur connue.
1. Convertir 150° en radians. 2. Convertir 5π/6 rad en degrés. 3. Donner les valeurs exactes de cos(π/4) et sin(π/4).
On donne cos x = 3/5, avec x ∈ ]0 ; π/2[. Calculer sin x puis tan x.
D'après la relation fondamentale : sin²x = 1 − cos²x = 1 − 9/25 = 16/25.
Comme x ∈ ]0 ; π/2[, sin x > 0, donc sin x = √(16/25) = 4/5.
Puis tan x = sin x / cos x = (4/5)/(3/5) = 4/3.
Simplifier l'expression E = cos(π − x) + sin(π/2 − x) − cos(−x).
On utilise les formules de réduction : cos(π − x) = −cos x, sin(π/2 − x) = cos x, cos(−x) = cos x.
L'expression se simplifie donc en E = −cos x.
Calculer les valeurs exactes de cos(105°) et sin(105°) en écrivant 105° = 60° + 45°.
Numériquement : cos(105°) ≈ −0,259 (cohérent, 105° est un angle obtus donc cosinus négatif) et sin(105°) ≈ 0,966.
En écrivant 3x = 2x + x et en utilisant les formules d'addition et de duplication, montrer que pour tout réel x :
cos(3x) = 4cos³x − 3cos x
On part de cos(3x) = cos(2x + x) et on applique la formule d'addition :
On remplace cos2x = 2cos²x − 1 et sin2x = 2 sin x cos x :
On remplace sin²x par 1 − cos²x (relation fondamentale) :
On obtient bien la formule de l'angle triple : cos(3x) = 4cos³x − 3cos x.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
180° convertis en radians valent :
cos(π/3) vaut :
sin(π/2) vaut :
Si cos x = 0,6 et sin x > 0, alors sin x vaut :
cos(−x) est égal à :
sin(π − x) est égal à :
La relation fondamentale de la trigonométrie s'écrit :
La formule d'addition de cos(a+b) est :
sin(2a) est égal à :
tan(π/4) vaut :
