Objectif Général 4 — Trigonométrie. Résolution des équations cos x = cos a, sin x = sin a, tan x = tan a, sur R et sur un intervalle donné ; inéquations trigonométriques simples.
Pour tous réels x et a :
Résoudre cos x = 1/2 dans ℝ. On reconnaît 1/2 = cos(π/3), donc :
Pour tous réels x et a :
Résoudre sin x = √3/2 dans ℝ. On reconnaît √3/2 = sin(π/3), donc :
Pour tous réels x et a (tels que cos x ≠ 0 et cos a ≠ 0) :
Contrairement au cosinus et au sinus, la tangente n'a qu'une seule famille de solutions, de période π (et non 2π).
Résoudre tan x = 1 dans ℝ. On reconnaît 1 = tan(π/4), donc :
1. Résoudre l'équation dans ℝ pour obtenir la (ou les) famille(s) de solutions générales, en fonction de k ∈ ℤ.
2. Pour chaque famille, tester les valeurs entières de k afin de déterminer lesquelles donnent des solutions appartenant à l'intervalle imposé.
Résoudre cos x = 1/2 sur [0 ; 2π]. On a x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.
• Pour x = π/3 + 2kπ : k = 0 donne x = π/3 ∈ [0;2π] ✓.
• Pour x = −π/3 + 2kπ : k = 1 donne x = −π/3 + 2π = 5π/3 ∈ [0;2π] ✓.
L'ensemble des solutions sur [0 ; 2π] est donc S = {π/3 ; 5π/3}.
Pour résoudre une inéquation du type cos x ≥ a ou sin x ≤ a sur un intervalle donné, on place les points solutions de l'équation associée sur le cercle trigonométrique, puis on lit graphiquement la portion du cercle où l'inégalité est vérifiée (abscisse pour cos, ordonnée pour sin).
Résoudre cos x ≥ 1/2 sur [0 ; 2π]. Les solutions de l'égalité sont x = π/3 et x = 5π/3 (question 4). Le cosinus (abscisse du point sur le cercle) est supérieur ou égal à 1/2 pour les angles proches de 0, c'est-à-dire entre −π/3 et π/3.
Sur [0 ; 2π], l'ensemble solution est S = [0 ; π/3] ∪ [5π/3 ; 2π].
Résoudre sin x ≤ 1/2 sur [0 ; 2π]. Les solutions de l'égalité sont x = π/6 et x = 5π/6. Le sinus (ordonnée) dépasse 1/2 uniquement entre π/6 et 5π/6.
Sur [0 ; 2π], l'ensemble solution de l'inéquation est donc S = [0 ; π/6] ∪ [5π/6 ; 2π].
Résoudre cos x = 1/2 dans ℝ, puis donner les solutions appartenant à [0 ; 2π].
On reconnaît 1/2 = cos(π/3), donc dans ℝ :
Sur [0 ; 2π] : pour la première famille, k=0 donne x=π/3. Pour la seconde, k=1 donne x=−π/3+2π=5π/3. L'ensemble des solutions est S = {π/3 ; 5π/3}.
Résoudre sin x = √3/2 dans ℝ, puis donner les solutions appartenant à [0 ; 2π].
On reconnaît √3/2 = sin(π/3), donc dans ℝ :
Sur [0 ; 2π] : k=0 donne directement x=π/3 et x=2π/3 pour les deux familles. L'ensemble des solutions est S = {π/3 ; 2π/3}.
Résoudre tan x = √3 sur l'intervalle ]−π ; π].
On reconnaît √3 = tan(π/3), donc dans ℝ : x = π/3 + kπ, k ∈ ℤ.
Sur ]−π ; π] : pour k=0, x=π/3 ∈ ]−π;π] ✓. Pour k=−1, x=π/3−π=−2π/3 ∈ ]−π;π] ✓. Pour k=1, x=π/3+π=4π/3 ∉ ]−π;π] ✗.
L'ensemble des solutions est S = {−2π/3 ; π/3}.
Résoudre l'inéquation cos x ≥ √2/2 sur [0 ; 2π].
On résout d'abord l'égalité : cos x = √2/2 = cos(π/4). Sur [0 ; 2π], les solutions sont x=π/4 et x=2π−π/4=7π/4.
Le cosinus (abscisse sur le cercle trigonométrique) est supérieur ou égal à √2/2 pour les angles proches de 0, entre −π/4 et π/4.
Sur [0 ; 2π], l'ensemble solution est donc S = [0 ; π/4] ∪ [7π/4 ; 2π].
Résoudre dans ℝ l'équation sin(2x) = sin x.
On remplace sin(2x) par 2 sin x cos x (formule de duplication) :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul :
Cas 1 : sin x = 0 ⟺ x = kπ, k ∈ ℤ.
Cas 2 : 2cos x − 1 = 0 ⟺ cos x = 1/2 ⟺ x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ.
L'ensemble des solutions dans ℝ est donc S = {kπ} ∪ {π/3 + 2kπ} ∪ {−π/3 + 2kπ}, k ∈ ℤ.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Les solutions de cos x = cos a sont :
Les solutions de sin x = sin a sont :
Les solutions de tan x = tan a sont :
L'équation cos x = 1/2 a pour solution générale dans ℝ :
Sur [0 ; 2π], les solutions de sin x = √2/2 sont :
Sur ]−π ; π], les solutions de tan x = 1 sont :
La solution de l'inéquation cos x ≥ 1/2 sur [0 ; 2π] est :
La solution de l'inéquation sin x ≤ 1/2 sur [0 ; 2π] est :
Combien de solutions l'équation sin x = 0 possède-t-elle sur [0 ; 2π] ?
L'équation cos x = −1 a pour solution générale dans ℝ :
