Objectif Général 5. Suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, sommes de termes, limite d'une suite et applications aux intérêts simples et composés.
Une suite numérique (u_n) est une fonction qui, à tout entier naturel n (éventuellement à partir d'un certain rang), associe un nombre réel u_n. Elle peut être définie de deux façons :
Pour étudier le sens de variation de (u_n), on étudie le signe de la différence u_{n+1} − u_n :
• Si u_{n+1} − u_n > 0 pour tout n, la suite est croissante.
• Si u_{n+1} − u_n < 0 pour tout n, la suite est décroissante.
Pour u_n = 2n + 5 (forme explicite) : u_0=5, u_1=7, u_2=9. On a u_{n+1} − u_n = 2 > 0 pour tout n : la suite est croissante.
Pour u_0 = 2 et u_{n+1} = 2u_n − 1 (forme récurrente) : u_1 = 2×2−1 = 3, u_2 = 2×3−1 = 5, u_3 = 2×5−1 = 9.
Une suite (u_n) est arithmétique de raison r lorsque, pour tout n : u_{n+1} = u_n + r (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r).
Terme général : u_n = u_0 + n·r
Somme des (n+1) premiers termes : S = u_0 + u_1 + … + u_n = (n+1)×(u_0 + u_n) / 2
Soit (u_n) arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = 3.
u_10 = u_0 + 10r = 5 + 30 = 35
Somme des 11 premiers termes (de u_0 à u_10) : S = 11×(5+35)/2 = 11×40/2 = 220
Une suite (u_n) est géométrique de raison q (q ≠ 0) lorsque, pour tout n : u_{n+1} = q × u_n (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q).
Terme général : u_n = u_0 × q^n
Somme des (n+1) premiers termes (q ≠ 1) : S = u_0 + u_1 + … + u_n = u_0 × (1 − q^(n+1)) / (1 − q)
Soit (u_n) géométrique de premier terme u_0 = 2 et de raison q = 3.
u_6 = u_0 × q^6 = 2 × 729 = 1458
Somme des 7 premiers termes (de u_0 à u_6) : S = 2×(1−3^7)/(1−3) = 2×(1−2187)/(−2) = 2×(−2186)/(−2) = 2186
Une suite (u_n) est convergente lorsque ses termes se rapprochent indéfiniment d'un nombre réel L quand n devient très grand ; on note lim(n→+∞) u_n = L. Sinon, la suite est dite divergente (limite infinie, ou pas de limite du tout).
| Raison q d'une suite géométrique (u_0 ≠ 0) | Comportement de u_n = u_0 × q^n |
|---|---|
| q > 1 | diverge vers +∞ (si u_0 > 0) |
| q = 1 | suite constante, limite = u_0 |
| −1 < q < 1 | converge vers 0 |
| q ≤ −1 | n'a pas de limite (oscille ou diverge en alternant de signe) |
u_n = (1/2)^n : comme −1 < 1/2 < 1, lim(n→+∞) u_n = 0.
v_n = 2^n : comme 2 > 1, lim(n→+∞) v_n = +∞.
w_n = (−1)^n : les termes valent alternativement 1 et −1 (n pair ou impair), la suite n'a pas de limite.
• Intérêts simples : chaque année, les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial C_0. Le capital C_n après n années suit une suite arithmétique de raison r = C_0 × t (t étant le taux annuel) : C_n = C_0 × (1 + n×t).
• Intérêts composés : chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital déjà acquis (capital + intérêts précédents). Le capital C_n suit une suite géométrique de raison q = 1 + t : C_n = C_0 × (1+t)^n.
Un capital C_0 = 100 000 FCFA est placé au taux annuel t = 5 %, pendant 4 ans.
Intérêts simples : C_4 = 100 000 × (1 + 4×0,05) = 100 000 × 1,2 = 120 000 FCFA
Intérêts composés : C_4 = 100 000 × (1,05)^4 = 100 000 × 1,21550625 ≈ 121 551 FCFA
Le placement à intérêts composés rapporte davantage, car chaque année les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts.
Soit la suite définie par u_n = 2n + 5. 1. Calculer u_0, u_1 et u_2. 2. Étudier le sens de variation de la suite.
Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_0 = 7 et de raison r = −3. Calculer u_15 puis la somme S = u_0 + u_1 + … + u_15.
u_15 = u_0 + 15r = 7 + 15×(−3) = 7 − 45 = −38
La somme comporte 16 termes (de u_0 à u_15) :
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 = 2 et de raison q = 3. Calculer u_6 puis la somme S = u_0 + u_1 + … + u_6.
u_6 = u_0 × q^6 = 2 × 3^6 = 2 × 729 = 1458
La somme comporte 7 termes (de u_0 à u_6) :
On considère les suites v_n = (0,8)^n et w_n = (1,2)^n. Déterminer, en justifiant, la limite de chacune quand n tend vers +∞, et interpréter (croissance ou dépréciation).
Pour v_n = (0,8)^n : la raison q = 0,8 vérifie −1 < 0,8 < 1, donc lim(n→+∞) v_n = 0. Cela correspond par exemple à une valeur qui se déprécie de 20 % chaque année et tend vers 0.
Pour w_n = (1,2)^n : la raison q = 1,2 > 1, donc lim(n→+∞) w_n = +∞. Cela correspond par exemple à une valeur qui croît de 20 % chaque année, sans limite.
Un épargnant place un capital C_0 = 200 000 FCFA au taux annuel t = 8 %, pendant 5 ans.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une suite arithmétique de raison r vérifie, pour tout n :
Une suite géométrique de raison q vérifie, pour tout n :
Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r est :
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q est :
La somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique est :
Pour une suite géométrique de raison q avec −1 < q < 1 (u_0 ≠ 0), la limite quand n→+∞ est :
Pour une suite géométrique de raison q > 1 et u_0 > 0, la limite quand n→+∞ est :
Soit (u_n) arithmétique avec u_0 = 4 et r = 5. u_3 vaut :
Soit (u_n) géométrique avec u_0 = 3 et q = 2. u_4 vaut :
Un capital placé à intérêts composés évolue selon une suite :
