Ch. 16 Mathématiques · 1ère Commerciale (PBG)

Représentations graphiques des fonctions numériques

Objectif Général 5. Lecture graphique, tableau de variations, étude complète en vue du tracé d'une courbe et interprétation économique.

1. Lecture graphique d'une courbe

Vocabulaire

• L'image d'un nombre x par f est l'ordonnée f(x) du point de la courbe d'abscisse x.

• Un antécédent de y par f est un nombre x tel que f(x) = y (abscisse d'un point d'ordonnée y).

• Résoudre f(x) = k revient à chercher les abscisses des points de la courbe situés sur la droite horizontale y = k.

• Résoudre f(x) ≤ k (ou ≥ k) revient à repérer la partie de la courbe située en dessous (ou au-dessus) de cette droite.

2. Tableau de variations et tracé

Principe

Le signe de f'(x) donne le sens de variation de f : f'(x)>0 sur un intervalle → f croissante ; f'(x)<0 → f décroissante. Le tableau de variations résume ces informations avec les valeurs remarquables (extrema).

Exemple résolu

f(x) = x² − 4x + 3. f'(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2.

f'(x) < 0 sur ]-\infty ; 2[ \to f décroissante f'(x) > 0 sur ]2 ; +\infty[ \to f croissante Minimum : f(2) = 4 - 8 + 3 = -1

Racines de f : x²−4x+3=0 → (x−1)(x−3)=0 → x=1 ou x=3. La courbe (une parabole) coupe l'axe des abscisses en x=1 et x=3, avec un minimum en (2 ; −1).

3. Asymptotes et éléments remarquables

Rappel

Si lim(x→±∞) f(x) = L (nombre fini), la droite d'équation y = L est une asymptote horizontale. Si f n'est pas définie en x = a et que la courbe s'en approche indéfiniment, x = a est une asymptote verticale.

Exemple résolu

f(x) = (3x+2)/(x−1), définie sur R\{1}. Quand x→±∞, f(x)→3 : asymptote horizontale y = 3. En x=1, dénominateur nul : asymptote verticale x = 1.

4. Méthode d'étude d'une fonction en vue du tracé

Étapes

1. Déterminer l'ensemble de définition.
2. Calculer la dérivée f' et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations (extrema, limites aux bornes).
4. Repérer les points remarquables (intersections avec les axes).
5. Tracer la courbe en respectant le tableau de variations.

Exemple résolu

f(x) = −x² + 2x + 3. f'(x) = −2x+2, nulle en x=1, positive avant, négative après → croissante sur ]−∞;1], décroissante sur [1;+∞[. Maximum f(1)=−1+2+3=4.

Racines : −x²+2x+3=0 → x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3 ou x=−1. Intersection avec l'axe des ordonnées : f(0)=3.

🧠 À retenir absolument

Image = ordonnée d'un point ; antécédent = abscisse pour une ordonnée donnée
f'(x)>0 → f croissante ; f'(x)<0 → f décroissante
Étude complète : domaine → dérivée → tableau de variations → points remarquables → tracé
lim f(x)=L en ±∞ → asymptote horizontale y=L ; valeur exclue du domaine → possible asymptote verticale

Lecture d'un tableau de variations

● Facile

Une fonction f, définie sur [−3 ; 5], est décroissante de f(−3)=6 à f(1)=−2, puis croissante de f(1)=−2 à f(5)=4.

Quel est le minimum de f sur [−3;5], et en quelle valeur est-il atteint ?
Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle croissante ?
Combien de solutions a l'équation f(x)=0 ?
Combien de solutions a l'équation f(x)=5 ?

✅ Correction

Minimum = −2, atteint en x = 1.
f est croissante sur [1 ; 5].
Sur la branche décroissante, f passe de 6 à −2 : elle s'annule une fois. Sur la branche croissante, f passe de −2 à 4 : elle s'annule une fois aussi. Total : 2 solutions.
Sur la branche décroissante (6 à −2), f atteint 5 une fois. Sur la branche croissante, le maximum est 4 < 5, jamais atteint. Total : 1 solution.

Tableau de variations à partir de la dérivée

● Facile

Soit f(x) = x² − 6x + 5. Calculer f'(x), dresser le tableau de variations, donner le minimum et les racines de f.

✅ Correction

f'(x) = 2x − 6, nulle en x=3, négative avant, positive après : f décroissante sur ]−∞;3], croissante sur [3;+∞[.

Minimum : f(3) = 9−18+5 = −4. Racines : x²−6x+5=0 → (x−1)(x−5)=0 → x=1 et x=5.

Étude d'une fonction quadratique

● Moyen

Soit f(x) = −2x² + 8x − 3.

Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations.
Donner la valeur maximale de f.
Résoudre l'équation f(x) = 5.

✅ Correction

f'(x) = −4x+8, nulle en x=2, positive avant, négative après : f croissante sur ]−∞;2], décroissante sur [2;+∞[.
Maximum : f(2) = −8+16−3 = 5.
−2x²+8x−3=5 → −2x²+8x−8=0 → (÷−2) x²−4x+4=0 → (x−2)²=0 → x=2 (solution double, cohérent car 5 est le maximum atteint une seule fois).

Fonction homographique et asymptotes

● Moyen

Soit f(x) = (3x+2)/(x−1).

Déterminer l'ensemble de définition.
Déterminer l'asymptote horizontale (limite en ±∞).
Déterminer l'asymptote verticale.
Étudier le signe de f(x)−3 pour situer la courbe par rapport à l'asymptote horizontale.

✅ Correction

Domaine : R \ {1}.
Quand x→±∞, f(x)→3 (rapport des termes dominants 3x/x) : asymptote y = 3.
Le dénominateur s'annule en x=1 : asymptote x = 1.
f(x)−3 = (3x+2)/(x−1) − 3 = [3x+2−3(x−1)]/(x−1) = 5/(x−1). Positif si x>1 (courbe au-dessus de l'asymptote), négatif si x<1 (courbe en dessous).

Recette d'une entreprise — problème de synthèse

● Difficile

La recette (en milliers F) réalisée pour x unités vendues est modélisée par f(x) = −0,1x² + 4x, pour x ∈ [0 ; 40].

Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations sur [0 ; 40].
Donner la recette maximale et la quantité correspondante.
Résoudre l'équation f(x) = 30 et interpréter les deux solutions obtenues.

✅ Correction

f'(x) = −0,2x+4, nulle en x=20, positive avant, négative après : f croissante sur [0;20], décroissante sur [20;40]. f(0)=0, f(40)=−0,1×1600+160=0.
Maximum : f(20) = −0,1×400+80 = −40+80 = 40 (milliers F), pour x = 20 unités vendues.
−0,1x²+4x=30 → (×−10) x²−40x+300=0. Discriminant = 1600−1200=400=20². Racines : x=(40±20)/2 → x=10 ou x=30. La recette atteint 30 milliers F pour deux niveaux de vente : x=10 (en phase de croissance de la recette) et x=30 (en phase de décroissance).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

L'image de x=2 par f est notée :

Question 2 / 10

Un antécédent de y par f est un nombre x tel que :

Question 3 / 10

Pour f(x)=x²−4x+3, le minimum de f est :

Question 4 / 10

Les racines de f(x)=x²−4x+3 sont :

Question 5 / 10

Si f'(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est :

Question 6 / 10

Pour f(x) = −2x²+8x−3, la valeur maximale de f est :

Question 7 / 10

Pour f(x) = (3x+2)/(x−1), l'asymptote horizontale a pour équation :

Question 8 / 10

Pour la même fonction, l'asymptote verticale a pour équation :

Question 9 / 10

Une fonction f décroît de 6 à −2 sur [−3;1] puis croît de −2 à 4 sur [1;5]. Combien de solutions a l'équation f(x)=0 sur [−3;5] ?

Question 10 / 10

Les étapes de l'étude d'une fonction en vue de son tracé sont, dans l'ordre :