Objectif Général 1 — Algèbre : équations et systèmes. Méthodes de résolution, déterminant et méthode de Cramer, élimination de Gauss.
Un système linéaire 2×2 s'écrit { ax + by = e ; cx + dy = f }. Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient simultanément les deux équations.
Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans l'autre équation.
Combinaison linéaire : multiplier les équations par des coefficients bien choisis pour éliminer une inconnue par addition ou soustraction.
Résoudre { x + y = 5 ; x − y = 1 } : en additionnant les deux équations, 2x = 6, donc x = 3, puis y = 5 − 3 = 2.
Pour le système { ax + by = e ; cx + dy = f }, on définit le déterminant principal D = ad − bc.
Si D ≠ 0, le système admet une unique solution :
x = Dx / D avec Dx = ed − bf, et y = Dy / D avec Dy = af − ec.
Si D = 0, le système n'a pas de solution unique (aucune solution, ou une infinité selon le second membre).
Résoudre { 2x + 3y = 8 ; x − y = 1 } par Cramer : a=2,b=3,e=8,c=1,d=−1,f=1.
Vérification : 2×(11/5)+3×(6/5) = 22/5+18/5 = 40/5 = 8 ✓
Pour un système à trois inconnues, on élimine successivement les inconnues par combinaisons linéaires pour se ramener à un système « en escalier » (une équation à une seule inconnue, puis remontée par substitution).
| Cas | Position des droites | Solutions |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Sécantes | Un seul couple solution |
| D = 0, incompatibles | Strictement parallèles | Aucune solution |
| D = 0, compatibles | Confondues | Une infinité de solutions |
Résoudre { x+y+z=6 ; 2x−y+z=3 ; x+2y−z=2 } :
S = {(1 ; 2 ; 3)}. Vérification : 2×1−2+3=3 ✓ ; 1+4−3=2 ✓
Résoudre le système { x + y = 5 ; x − y = 1 } par substitution.
De la 1ʳᵉ équation : x = 5 − y. En remplaçant dans la 2ᵉ : (5−y) − y = 1 → 5 − 2y = 1 → y = 2. Puis x = 5 − 2 = 3.
S = {(3 ; 2)}
Résoudre le système { 3x + 2y = 12 ; x − 2y = −4 } par combinaison.
En additionnant les deux équations, les termes en y s'éliminent : (3x+2y)+(x−2y)=12+(−4) → 4x=8 → x=2.
Dans la 2ᵉ équation : 2 − 2y = −4 → −2y = −6 → y = 3.
S = {(2 ; 3)}. Vérification : 3×2+2×3=12 ✓
Résoudre par la méthode de Cramer le système { 4x − 3y = 1 ; 2x + y = 13 }.
S = {(4 ; 5)}. Vérification : 4×4−3×5=16−15=1 ✓ et 2×4+5=13 ✓
On considère le système { x + 2y = 3 ; mx + 4y = 7 } où m est un paramètre réel. Discuter, selon les valeurs de m, le nombre de solutions du système.
D = 1×4 − 2×m = 4 − 2m.
Si m ≠ 2 : D ≠ 0, le système admet une unique solution (droites sécantes).
Si m = 2 : D = 0. Le système devient { x+2y=3 ; 2x+4y=7 }. Or 2×(x+2y)=2x+4y=6, ce qui contredit 2x+4y=7 (6≠7) : les droites sont strictement parallèles, le système n'a aucune solution.
Résoudre le système : { x + 2y − z = −3 ; 2x − y + z = 8 ; 3x + y + 2z = 11 }
S = {(2 ; −1 ; 3)}. Vérification : 3×2+(−1)+2×3=6−1+6=11 ✓
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution du système { x + y = 5 ; x − y = 1 } donne x égal à :
Pour le système { ax+by=e ; cx+dy=f }, le déterminant D est égal à :
Pour { 2x+3y=8 ; x−y=1 }, le déterminant D vaut :
Lorsque D ≠ 0, les deux droites associées au système sont :
Si D = 0 et que le système est incompatible, les droites sont :
Si D = 0 et que le système est compatible, il y a :
Pour { 4x−3y=1 ; 2x+y=13 }, la valeur de x est :
Pour ce même système, la valeur de y est :
Dans la méthode d'élimination de Gauss pour un système 3×3, on cherche d'abord à :
Le système { x + 2y = 3 ; 2x + 4y = 6 } admet :
