Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle. Orthogonalité, vecteur normal à une droite, distance d'un point à une droite, calcul d'angles et théorème d'Al-Kashi.
Dans un repère orthonormé, pour u(x;y) et v(x';y') :
• Symétrie : u·v = v·u
• Bilinéarité : u·(v+w) = u·v + u·w et (k·u)·v = k(u·v)
• u·u = ‖u‖² (le carré scalaire donne le carré de la norme)
• u·v = 0 ⟺ u et v sont orthogonaux (ou l'un des deux est nul)
u(3 ; −1) et v(2 ; 6). Calculons u·v :
Comme u·v = 0, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Une droite D d'équation cartésienne ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal n(a ; b), c'est-à-dire un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de D.
La distance d'un point M₀(x₀ ; y₀) à la droite D : ax + by + c = 0 vaut :
D : 3x + 4y − 5 = 0 et M₀(2 ; 1). On a a=3, b=4, c=−5 :
La distance de M₀ à la droite D est 1.
Pour u et v non nuls, si θ est une mesure de l'angle géométrique (u ; v) :
Dans un triangle ABC, en posant BC=a, AC=b, AB=c :
Ce théorème se démontre en écrivant BC = AC − AB puis en développant BC² = (AC − AB)² avec le produit scalaire.
u(1 ; √3), v(1 ; 0). Calculons l'angle entre u et v :
Application d'Al-Kashi : dans un triangle avec AB=5, AC=7 et Â=60°, calculons BC :
Soient u(2 ; −3) et v(4 ; 1). Calculer u·v. Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ?
u·v = 5 ≠ 0, donc u et v ne sont pas orthogonaux.
Déterminer l'équation cartésienne de la droite D passant par A(3 ; 1) et de vecteur normal n(1 ; −2).
M(x;y) ∈ D ⟺ AM · n = 0 :
Calculer la distance du point M(1 ; −2) à la droite D : 3x − 4y + 12 = 0.
Calculer une mesure de l'angle entre u(1 ; √3) et v(1 ; 0).
Dans un triangle ABC, on donne AB = 8, AC = 5 et BC = 7. Calculer une mesure de l'angle  à l'aide du théorème d'Al-Kashi.
D'après Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â), donc :
Donc  = 60°.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour u(x;y) et v(x';y'), le produit scalaire u·v est égal à :
Si u·v = 0 (u et v non nuls), alors :
La droite d'équation ax+by+c=0 admet pour vecteur normal :
La distance du point M₀(x₀;y₀) à la droite ax+by+c=0 est donnée par :
Pour D : 3x+4y−5=0 et M(2 ; 1), la distance d(M,D) vaut :
La formule donnant l'angle θ entre deux vecteurs non nuls u et v est :
Pour u(1;√3) et v(1;0), l'angle entre u et v vaut :
Le théorème d'Al-Kashi dans un triangle ABC (BC=a, AC=b, AB=c) s'écrit :
Dans un triangle avec AB=5, AC=7 et Â=60°, la longueur BC vaut :
Pour tout vecteur u, u·u est égal à :
