Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Ensemble de définition, parité, périodicité, sens de variation et opérations sur les fonctions.
Une fonction numérique f définie sur une partie D de R associe à tout réel x∈D un unique réel noté f(x). D est appelé ensemble (ou domaine) de définition de f, noté Df.
• Une fraction n'est définie que si son dénominateur est non nul.
• Une racine carrée n'est définie que si la quantité sous le radical est positive ou nulle.
Déterminons Df pour f(x) = √(x−2) / (x−5).
Donc Df = [2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.
Soit f de domaine Df symétrique par rapport à 0 (x∈Df ⟺ −x∈Df). f est :
f est périodique de période T>0 si pour tout x∈Df, x+T∈Df et f(x+T)=f(x). (Exemples usuels : sinus et cosinus, de période 2π.)
f(x) = x⁴ − 2x² + 1, Df = R (symétrique) :
Donc f est paire.
g(x) = x³/(x²+1), Dg = R (symétrique) :
Donc g est impaire.
f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a,b∈I : adécroissante si a
Pour f et g de domaines Df et Dg :
f(x)=x+1 (Df=R), g(x)=√x (Dg=[0;+∞[). Calculons g∘f :
Donc D(g∘f) = [−1 ; +∞[.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = (2x−1)/(x+3).
Il faut x+3 ≠ 0, soit x ≠ −3. Donc Df = R \ {−3}.
Étudier la parité de f(x) = x⁴ − 2x² + 1.
Df = R, symétrique par rapport à 0.
Donc f est paire.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = √(4−x²).
Donc Df = [−2 ; 2].
Étudier la parité de f(x) = x³/(x²+1).
Df = R (x²+1 ne s'annule jamais), symétrique par rapport à 0.
Donc f est impaire.
Soient f(x) = 1/(x−2) et g(x) = √x. Déterminer l'ensemble de définition de g∘f.
(g∘f)(x) = g(f(x)) = √(1/(x−2)) est définie si x∈Df (donc x≠2) et si f(x)∈Dg, c'est-à-dire 1/(x−2) ≥ 0.
Donc D(g∘f) = ]2 ; +∞[.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x) = 1/(x−4) est :
L'ensemble de définition de f(x) = √(x+5) est :
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est paire ?
Parmi les fonctions suivantes, laquelle est impaire ?
La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à :
La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à :
L'ensemble de définition de f(x) = √(4−x²) est :
f croissante sur un intervalle I signifie que pour tous a,b∈I :
L'ensemble de définition de f+g est :
Pour f(x)=x+1 et g(x)=√x, l'ensemble de définition de g∘f est :
