Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Limites finies et infinies, opérations sur les limites, formes indéterminées et techniques de calcul.
On dit que f a pour limite L en a, noté lim(x→a) f(x) = L, si f(x) se rapproche autant qu'on veut de L lorsque x se rapproche de a.
lim(x→+∞) f(x) = L signifie que f(x) se rapproche autant qu'on veut de L lorsque x devient très grand. On définit de même une limite infinie (f(x) devient aussi grand que l'on veut).
Pour une fonction polynôme, on calcule la limite en un point fini par simple substitution : lim(x→3) (2x+1) = 2×3+1 = 7.
Les limites de sommes, produits et quotients se calculent en général « terme à terme », comme les opérations usuelles sur les nombres (en tenant compte des règles avec l'infini).
Dans certains cas, on ne peut pas conclure directement. Ce sont les quatre formes indéterminées classiques :
0/0 · ∞/∞ · ∞ − ∞ · 0 × ∞
Il faut alors transformer l'écriture de f(x) (factorisation, quantité conjuguée, division par la puissance dominante) avant de conclure.
On divise le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de x présente au dénominateur.
Calculons lim(x→+∞) (3x²+2x−1)/(2x²−5) (forme ∞/∞) :
On multiplie par la quantité conjuguée.
Calculons lim(x→+∞) (√(x+1) − √x) (forme ∞−∞) :
Quand x→+∞, le dénominateur tend vers +∞, donc la limite vaut 0.
Calculer lim(x→3) (2x+1).
La fonction est un polynôme, donc continue partout : on substitue directement.
Calculer lim(x→1) (x²−1)/(x−1).
En x=1, on obtient la forme indéterminée 0/0. On factorise :
Donc lim(x→1) (x²−1)/(x−1) = 1+1 = 2.
Calculer lim(x→+∞) (5x³−2x)/(x³+1).
Forme ∞/∞. On divise numérateur et dénominateur par x³ :
Donc la limite vaut 5.
Calculer lim(x→+∞) (2x²−3)/(x+1).
Forme ∞/∞. On divise numérateur et dénominateur par x (plus haute puissance du dénominateur) :
Quand x→+∞ : le numérateur tend vers +∞ et le dénominateur tend vers 1, donc la limite vaut +∞.
Calculer lim(x→0) (√(x+4) − 2)/x.
Forme 0/0. On multiplie par la quantité conjuguée √(x+4)+2 :
Quand x→0 : 1/(√4+2) = 1/(2+2) = 1/4.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
lim(x→2) (3x−1) est égale à :
Parmi les formes suivantes, laquelle est une forme indéterminée ?
lim(x→+∞) 1/x est égale à :
lim(x→0⁺) 1/x est égale à :
Pour calculer la limite en l'infini d'une fraction rationnelle, la bonne technique est de :
lim(x→+∞) (2x²+1)/(x²−3) est égale à :
lim(x→1) (x²−1)/(x−1) est égale à :
Pour lever une forme indéterminée avec des racines carrées, on utilise en général :
lim(x→+∞) (√(x+1) − √x) est égale à :
lim(x→0) (√(x+4) − 2)/x est égale à :
