Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Continuité en un point, sur un intervalle, prolongement par continuité et théorème des valeurs intermédiaires.
f est continue en a (a∈Df) si lim(x→a) f(x) = f(a). Sinon, f est dite discontinue en a.
Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur ensemble de définition), la fonction racine carrée (sur [0;+∞[), ainsi que sinus et cosinus, sont continues sur leur domaine.
Soit f définie par f(x) = (x²−4)/(x−2) pour x≠2 et f(2) = 4. f est-elle continue en 2 ?
Comme lim(x→2) f(x) = 4 = f(2), f est continue en 2.
La somme, le produit, le quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) et la composée de fonctions continues sont des fonctions continues.
Si f n'est pas définie en a mais que lim(x→a) f(x) = L existe (L fini), on peut prolonger f par continuité en posant f(a) = L : la fonction ainsi complétée devient continue en a.
g(x) = (x²−9)/(x−3), non définie en x=3. Peut-on prolonger g par continuité en 3 ?
La limite existe et vaut 6 : on peut poser g(3) = 6 pour prolonger g par continuité en 3.
Si f est continue sur [a ; b], alors f prend toute valeur comprise entre f(a) et f(b) au moins une fois sur [a;b].
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], et si f(a)·f(b) < 0, alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans ]a;b[.
Montrons que l'équation cos x = x admet une unique solution sur [0 ; π/2]. Posons g(x) = cos x − x, continue (différence de fonctions continues) sur [0 ; π/2].
De plus, g est strictement décroissante sur [0;π/2] (somme de cos x, décroissante, et de −x, décroissante). D'après le corollaire du TVI, l'équation g(x)=0, c'est-à-dire cos x = x, admet une unique solution dans ]0 ; π/2[.
Soit f définie par f(x) = (x²−1)/(x−1) pour x≠1 et f(1) = 1. f est-elle continue en 1 ?
Or f(1) = 1. Comme lim(x→1) f(x) = 2 ≠ f(1) = 1, f n'est pas continue en 1.
Soit f(x) = (x²−5x+6)/(x−2), non définie en x=2. Déterminer la valeur k à donner à f(2) pour que f soit continue en 2.
On factorise le numérateur : x²−5x+6 = (x−2)(x−3).
Il faut poser k = f(2) = −1.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = √(x−1)/(x−3), puis justifier que f est continue sur cet ensemble.
Conditions : x−1 ≥ 0 et x−3 ≠ 0, soit x ≥ 1 et x ≠ 3. Donc Df = [1;3[ ∪ ]3;+∞[.
f est le quotient de la fonction √(x−1) (continue sur [1;+∞[) par la fonction x−3 (continue sur R, non nulle sur Df) : f est donc continue sur [1;3[ et sur ]3;+∞[ (comme quotient de fonctions continues avec dénominateur non nul).
Montrer que l'équation x³−3x+1 = 0 admet au moins une solution dans [0;1].
Posons f(x) = x³−3x+1, polynôme donc continue sur R, en particulier sur [0;1].
Comme f est continue sur [0;1] et f(0)·f(1) < 0, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe (au moins) un réel c ∈ ]0;1[ tel que f(c) = 0.
Montrer que l'équation cos x = x admet une unique solution sur [0 ; π/2].
Posons g(x) = cos x − x, continue sur [0 ; π/2] (différence de deux fonctions continues).
g est strictement décroissante sur [0;π/2] : en effet cos x est strictement décroissante sur cet intervalle, et −x est strictement décroissante ; leur somme g est donc strictement décroissante.
Comme g est continue et strictement monotone sur [0;π/2], avec g(0)·g(π/2) < 0, le corollaire du TVI assure que g(x)=0, c'est-à-dire cos x = x, admet une unique solution dans ]0 ; π/2[.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
f est continue en a si et seulement si :
La fonction f(x) = 1/x est-elle continue en x = 0 ?
Les fonctions polynômes sont-elles continues sur R ?
Pour f(x)=(x²−9)/(x−3) (x≠3), la valeur à donner à f(3) pour un prolongement par continuité est :
Le corollaire du TVI pour l'équation f(x)=0 nécessite que f soit :
La somme, le produit et le quotient (dénominateur non nul) de deux fonctions continues sont :
Si f est continue sur [0;1] avec f(0)=1 et f(1)=−1, alors l'équation f(x)=0 :
Une fonction qui « saute » brusquement d'une valeur à une autre en un point est dite :
Pour h(x)=(x²−5x+6)/(x−2) (x≠2), la valeur à donner à h(2) pour la continuité est :
L'équation cos x = x admet sur [0 ; π/2] :
