Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Nombre dérivé, fonction dérivée, formules de dérivation usuelles et applications à l'étude des variations.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement [f(a+h) − f(a)] / h admet une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, notée f′(a).
Si f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A(a ; f(a)) une tangente de coefficient directeur f′(a), d'équation :
y = f′(a)(x − a) + f(a)
Propriété : si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (ex. f(x) = |x| est continue en 0 mais non dérivable en 0, car les taux d'accroissement à gauche et à droite valent respectivement −1 et 1).
Soit f(x) = x². Calculer f′(2) à partir de la définition.
[f(2+h) − f(2)] / h = [(2+h)² − 4] / h = [4 + 4h + h² − 4] / h = (4h + h²)/h = 4 + h
Quand h → 0, on obtient f′(2) = 4. La tangente en x = 2 a pour équation y = 4(x − 2) + 4, soit y = 4x − 4.
| f(x) | f′(x) | Domaine de validité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℕ*) | n·xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | −1/x² | x ≠ 0 |
| √x | 1/(2√x) | x > 0 |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
• Somme : (u + v)′ = u′ + v′
• Produit par une constante : (k·u)′ = k·u′
• Produit : (u·v)′ = u′v + uv′
• Quotient (v ≠ 0) : (u/v)′ = (u′v − uv′) / v²
• Puissance de fonction : (uⁿ)′ = n·u′·uⁿ⁻¹
• Racine de fonction (u > 0) : (√u)′ = u′ / (2√u)
f(x) = 3x⁴ − 5x² + 2x − 7 → f′(x) = 12x³ − 10x + 2.
g(x) = (2x + 1)/(x − 3), avec u = 2x+1 (u′=2), v = x−3 (v′=1) :
g′(x) = [2(x−3) − (2x+1)(1)] / (x−3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x−3)² = −7/(x−3)²
h(x) = (3x − 1)⁵ → h′(x) = 5 × 3 × (3x−1)⁴ = 15(3x−1)⁴.
Soit f dérivable sur un intervalle I.
Si f′ s'annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a (maximum si f′ passe de + à −, minimum si f′ passe de − à +).
f(x) = x³ − 3x sur ℝ. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1).
Signe de f′ : positif sur ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[, négatif sur ]−1 ; 1[.
f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[.
f(−1) = −1 + 3 = 2 (maximum local) ; f(1) = 1 − 3 = −2 (minimum local).
Calculer la fonction dérivée de f(x) = 5x³ − 2x² + 7x − 1.
On dérive terme à terme avec la formule (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ :
Soit f(x) = x² − 3x. Calculer f′(1) en utilisant la définition du nombre dérivé (taux d'accroissement).
f(1) = 1 − 3 = −2. f(1+h) = (1+h)² − 3(1+h) = 1 + 2h + h² − 3 − 3h = −2 − h + h².
Quand h → 0, on obtient f′(1) = −1.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = 1/x au point d'abscisse a = 2.
f(2) = 1/2. f′(x) = −1/x² donc f′(2) = −1/4.
Soit y = −x/4 + 1.
Calculer la dérivée de g(x) = (x² + 1)/(x − 1).
u = x²+1, u′ = 2x ; v = x−1, v′ = 1. On applique (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² :
Soit g′(x) = (x² − 2x − 1) / (x−1)².
On considère f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 sur ℝ.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour f(x) = x², la valeur de f′(3) est :
La dérivée de f(x) = x⁵ est :
La formule correcte pour dériver un produit u×v est :
La dérivée de f(x) = 1/x (x ≠ 0) est :
Si f est dérivable en a, alors :
Pour f(x) = x² + 1, la tangente au point d'abscisse a = 1 a pour équation :
Si f′(x) < 0 sur un intervalle I, alors f est :
La dérivée de f(x) = √x (x > 0) est :
f admet un extremum local en a si :
Pour f(x) = x³ − 4x, la valeur de f′(2) est :
