Objectif Général 4 — Trigonométrie et angles orientés. Cercle trigonométrique, relations fondamentales, formules d'addition et de duplication.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre). À tout réel x, on associe un point M du cercle tel que l'arc orienté de longueur x (à partir du point I(1;0)) aboutisse en M. On pose cos x et sin x les coordonnées de M : M(cos x ; sin x).
Le radian est l'unité de mesure d'angle telle qu'un arc de longueur égale au rayon corresponde à un angle de 1 radian. Conversion : x(rad) = x(deg) × π/180.
| Angle | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | non défini |
cos²x + sin²x = 1 (pour tout x)
tan x = sin x / cos x (pour cos x ≠ 0) ; 1 + tan²x = 1/cos²x
Parité : cos(−x) = cos x (fonction paire) ; sin(−x) = −sin x, tan(−x) = −tan x (fonctions impaires).
Périodicité : cos et sin sont périodiques de période 2π ; tan est périodique de période π.
cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x
cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x
cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π/2 − x) = cos x
cos(π/2 + x) = −sin x ; sin(π/2 + x) = cos x
Calculer sin(5π/6). On écrit 5π/6 = π − π/6, donc sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.
cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a−b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a−b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
sin(2a) = 2 sin a cos a
Calculer cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos45°cos30° − sin45°sin30°
Calculer sin(15°) = sin(45° − 30°) = sin45°cos30° − cos45°sin30° = (√6 − √2)/4.
Calculer, en utilisant les angles associés : cos(2π/3) et sin(5π/6).
2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
5π/6 = π − π/6, donc sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.
Sachant que cos x = 3/5 et que x ∈ [0 ; π/2], calculer sin x.
Comme x ∈ [0 ; π/2], sin x ≥ 0, donc sin x = 4/5.
Calculer la valeur exacte de cos(105°) en utilisant 105° = 60° + 45°.
Soit cos(105°) = (√2 − √6)/4.
Sachant que cos(π/4) = 2cos²(π/8) − 1, exprimer cos(π/8) sous forme radicale.
Comme π/8 ∈ [0 ; π/2], cos(π/8) ≥ 0, donc cos(π/8) = √(2 + √2) / 2.
Démontrer que pour tout x tel que sin x ≠ 0 et cos x ≠ 0 :
(1 − cos(2x)) / sin(2x) = tan x
On utilise les formules de duplication : 1 − cos(2x) = 1 − (1 − 2sin²x) = 2sin²x, et sin(2x) = 2 sin x cos x.
L'identité est démontrée, valable dès que sin x ≠ 0 et cos x ≠ 0.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
sin(π/2) est égal à :
Pour tout réel x, cos²x + sin²x est égal à :
cos(−x) est égal à :
La formule de duplication du sinus est :
cos(π − x) est égal à :
tan(π/4) est égal à :
La formule d'addition de cos(a+b) est :
La période des fonctions cosinus et sinus est :
sin(π/6) est égal à :
Sachant que cos x = 1/2 et x ∈ [0 ; π/2], sin x vaut :
