Objectif Général 4 — Trigonométrie et angles orientés. Résolution des équations cos x = cos a, sin x = sin a, tan x = tan a, et des inéquations associées, dans R ou dans un intervalle donné.
cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, k ∈ ℤ
sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, k ∈ ℤ
tan x = tan a ⟺ x = a + kπ, k ∈ ℤ
1) Résoudre l'équation générale dans ℝ (obtenir les deux familles de solutions). 2) Pour chaque famille, choisir les valeurs de k∈ℤ telles que x appartienne à l'intervalle demandé.
Résoudre cos x = 1/2 sur [0 ; 2π[. On repère a = π/3 (car cos(π/3) = 1/2).
Solutions générales : x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : pour k=0, x = π/3 ; pour k=1 dans la 2ᵉ famille, x = −π/3+2π = 5π/3.
S = {π/3 ; 5π/3}
Résoudre sin x = −1/2 sur [0 ; 2π[. On repère a = −π/6 (car sin(−π/6) = −1/2).
Solutions générales : x = −π/6 + 2kπ ou x = π−(−π/6)+2kπ = 7π/6 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : pour k=1 dans la 1ère famille, x = −π/6+2π = 11π/6 ; pour k=0 dans la 2ᵉ, x = 7π/6.
S = {7π/6 ; 11π/6}
On résout les inéquations trigonométriques à l'aide du cercle trigonométrique : on repère les angles solutions de l'égalité associée, puis on détermine graphiquement les arcs où l'inégalité est vérifiée.
cos x ≥ 1/2 sur [0 ; 2π[ : cos x = 1/2 pour x = ±π/3. La zone où cos x ≥ 1/2 correspond aux angles proches de 0, entre −π/3 et π/3 (modulo 2π).
S = [0 ; π/3] ∪ [5π/3 ; 2π[
sin x ≤ 1/2 sur [0 ; 2π[ : sin x = 1/2 pour x = π/6 et x = 5π/6. Entre ces deux valeurs, sin x dépasse 1/2 (jusqu'à 1 en π/2) ; ailleurs sin x ≤ 1/2.
S = [0 ; π/6] ∪ [5π/6 ; 2π[
Résoudre cos x = √2/2 sur [0 ; 2π[.
a = π/4. Solutions générales : x = π/4+2kπ ou x = −π/4+2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : x = π/4 (k=0) et x = −π/4+2π = 7π/4 (k=1).
S = {π/4 ; 7π/4}
Résoudre sin x = √3/2 sur [0 ; 2π[.
a = π/3. Solutions générales : x = π/3+2kπ ou x = π−π/3+2kπ = 2π/3+2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : x = π/3 et x = 2π/3.
S = {π/3 ; 2π/3}
Résoudre tan x = 1 sur ]−π ; π].
a = π/4. Solutions générales : x = π/4 + kπ.
Pour k=0 : x = π/4 (dans l'intervalle). Pour k=−1 : x = π/4 − π = −3π/4 (dans l'intervalle).
S = {−3π/4 ; π/4}
Résoudre 2cos x − 1 = 0 sur [−π ; π].
2cos x − 1 = 0 ⟺ cos x = 1/2. a = π/3. Solutions générales : x = π/3+2kπ ou x = −π/3+2kπ.
Sur [−π ; π] : x = π/3 et x = −π/3 conviennent directement (k=0).
S = {−π/3 ; π/3}
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution générale de cos x = cos a est :
La solution générale de sin x = sin a est :
L'ensemble solution de cos x = 1 sur [0 ; 2π[ est :
L'ensemble solution de sin x = 0 sur [0 ; 2π[ est :
La solution générale de tan x = tan a est :
L'ensemble solution de cos x = 1/2 sur [0 ; 2π[ est :
L'ensemble solution de sin x = −1 sur [0 ; 2π[ est :
L'ensemble solution de l'inéquation cos x ≥ 0 sur [0 ; 2π[ est :
L'ensemble solution de sin x = √3/2 sur [0 ; 2π[ est :
La période de la fonction tangente est :
