Objectif Général 5 — Suites et représentations graphiques. Suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, notion de limite d'une suite.
Une suite numérique (u_n) est une fonction qui, à tout entier naturel n (ou n ≥ n₀), associe un nombre réel u_n.
Mode explicite : u_n = f(n) (calcul direct). Mode récurrent : u₀ donné, et u_{n+1} = f(u_n) (chaque terme dépend du précédent).
(u_n) est croissante si pour tout n, u_{n+1} ≥ u_n (on étudie le signe de u_{n+1} − u_n). Elle est décroissante si u_{n+1} ≤ u_n pour tout n.
(u_n) est arithmétique de raison r si u_{n+1} = u_n + r pour tout n. Terme général : u_n = u_0 + n·r.
Somme des (n+1) premiers termes : S = u_0+u_1+…+u_n = (n+1)(u_0+u_n)/2.
(u_n) est géométrique de raison q (q≠0) si u_{n+1} = q·u_n pour tout n. Terme général : u_n = u_0·qⁿ.
Somme (pour q≠1) : S = u_0+u_1+…+u_n = u_0·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q). Si q=1, S=(n+1)u₀.
Arithmétique : u₀=5, r=3. u₁₀ = 5+3×10 = 35. Somme S₀→₁₀ = 11×(5+35)/2 = 11×20 = 220.
Géométrique : u₀=3, q=2. u₅ = 3×2⁵ = 96. Somme S₀→₅ = 3×(1−2⁶)/(1−2) = 3×(−63)/(−1) = 189 (on vérifie : 3+6+12+24+48+96=189).
(u_n) converge vers un réel L si u_n devient aussi proche que l'on veut de L pour n suffisamment grand ; on note lim u_n = L. Sinon, la suite diverge (vers +∞, −∞, ou sans limite).
lim(1/n) = 0 ; lim(n) = +∞ (quand n→+∞)
Pour une suite géométrique de raison q : si −1<q<1, lim(qⁿ) = 0 ; si q>1 et u₀>0, lim(u_n) = +∞ ; si q=1, la suite est constante.
(u_n) est arithmétique de raison r=−2, avec u₀=7. Calculer u₁₅ et la somme S = u₀+u₁+…+u₁₅.
u₁₅ = u₀+15r = 7 + 15×(−2) = 7 − 30 = −23.
S = (16)(u₀+u₁₅)/2 = 16×(7+(−23))/2 = 16×(−16)/2 = −128 (16 termes de u₀ à u₁₅).
(u_n) est géométrique de raison q=3, avec u₀=2. Calculer u₆ et donner le sens de variation de la suite.
u₆ = u₀×q⁶ = 2×3⁶ = 2×729 = 1458.
Comme q=3>1 et u₀=2>0, la suite est strictement croissante.
On pose u_n = (2n+1)/(n+3) pour n≥0. Étudier le sens de variation de la suite (u_n).
On calcule u_{n+1} − u_n avec le même dénominateur (n+4)(n+3) :
(2n+3)(n+3) = 2n²+9n+9 et (2n+1)(n+4) = 2n²+9n+4. La différence des numérateurs vaut 2n²+9n+9 − (2n²+9n+4) = 5.
La suite est donc strictement croissante (elle n'est ni arithmétique ni géométrique, aucune raison constante).
Calculer S = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2⁸ (9 termes).
Suite géométrique u₀=1, q=1/2, 9 termes (n=8) :
S = 511/256 ≈ 1,996.
Soit (u_n) définie par u₀=1 et u_{n+1} = (1/3)u_n + 2. On pose v_n = u_n − 3.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Suite arithmétique u₀=5, r=4. La valeur de u₃ est :
Suite géométrique u₀=1, q=2. La valeur de u₄ est :
La formule de la somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique est :
Une suite géométrique de raison q avec |q| < 1 :
Si une suite arithmétique a une raison r > 0, elle est :
Une suite géométrique de raison q=1 est :
Suite géométrique u₀=2, q=3. La somme des 5 premiers termes (u₀ à u₄) est :
Une suite (u_n) converge vers L signifie que :
Une suite géométrique de raison q > 1 avec u₀ > 0 :
Une suite définie par u₀=2 et u_{n+1}=u_n+3 est :
