Objectif Général 5 — Suites et représentations graphiques. Tableau de variation, asymptotes, tracé de courbe et lecture graphique.
Le tableau de variation d'une fonction f résume, à partir du signe de f′, les intervalles où f est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs de f aux bornes et aux points où f′ s'annule (extrema locaux).
f(x) = x³ − 3x sur ℝ. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1), qui s'annule en −1 et 1.
f croissante sur ]−∞;−1], décroissante sur [−1;1], croissante sur [1;+∞[. f(−1)=2 (maximum local), f(1)=−2 (minimum local). Limites : lim(x→−∞) f = −∞, lim(x→+∞) f = +∞.
Asymptote verticale x=a : lim(x→a) f(x) = ±∞.
Asymptote horizontale y=b (en +∞ ou −∞) : lim f(x) = b.
Asymptote oblique y=ax+b : lim [f(x) − (ax+b)] = 0. En pratique, on écrit f(x) = ax+b+ε(x) avec lim ε(x)=0 (souvent par division polynomiale).
f(x) = (x²−1)/(x−2). Division : x²−1 = (x−2)(x+2)+3, donc f(x) = x+2 + 3/(x−2).
Quand x→±∞, 3/(x−2)→0 : la droite y = x+2 est asymptote oblique.
Au voisinage de x=2, 3/(x−2)→±∞ : la droite x = 2 est asymptote verticale (position : courbe au-dessus de l'asymptote pour x>2, en dessous pour x<2, selon le signe de 3/(x−2)).
Étudier une fonction, c'est : déterminer l'ensemble de définition, calculer les limites aux bornes, calculer et étudier le signe de f′, dresser le tableau de variation, préciser les asymptotes éventuelles, puis tracer la courbe.
Un tableau de variation indique : f décroissante sur [−3;0], croissante sur [0;4], avec f(−3)=5, f(0)=−2, f(4)=10. On en déduit : minimum de f = −2 (atteint en x=0) ; maximum de f = 10 (atteint en x=4, car 10 > 5).
f est définie sur [−3;4]. Son tableau de variation indique : f′<0 sur [−3;0], f′>0 sur [0;4], avec f(−3)=5, f(0)=−2, f(4)=10. Donner le sens de variation, le minimum et le maximum de f sur [−3;4].
f est décroissante sur [−3;0] puis croissante sur [0;4].
Minimum de f : −2, atteint en x=0. Maximum de f : en comparant f(−3)=5 et f(4)=10, le maximum global est 10, atteint en x=4.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = 1/(x−3) et préciser son asymptote verticale.
f est définie pour x ≠ 3, donc D_f = ℝ \ {3}.
Quand x→3, x−3→0 donc f(x)→±∞ : la droite x = 3 est asymptote verticale à la courbe de f.
Déterminer l'asymptote horizontale de f(x) = (2x+1)/(x−1) en +∞ et en −∞.
On écrit 2x+1 = 2(x−1)+3, donc f(x) = 2 + 3/(x−1).
Quand x→±∞, 3/(x−1)→0, donc lim f(x) = 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale (en +∞ et en −∞).
Déterminer les asymptotes de g(x) = (x²+2x−1)/(x+1).
Division : x²+2x−1 = (x+1)(x+1) − 2, donc g(x) = x+1 − 2/(x+1).
Quand x→±∞, −2/(x+1)→0 : la droite y = x+1 est asymptote oblique.
La droite x = −1 est asymptote verticale (g non définie en −1).
On considère f(x) = x²/(x−1) sur D_f = ℝ \ {1}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une asymptote verticale x=a correspond à :
Une asymptote horizontale y=b signifie :
Pour f(x) = 1/(x−2), l'asymptote verticale est :
Si f′(x) > 0 sur un intervalle I, alors sur I :
Une asymptote oblique y=ax+b vérifie :
Pour f(x) = (2x+1)/(x−1), l'asymptote horizontale est :
Un extremum local apparaît lorsque :
Pour f(x) = (x²−1)/(x−2), l'asymptote oblique est :
Pour cette même fonction f(x) = (x²−1)/(x−2), en x=2 on a :
Sur [−2;5], si f(−2)=3 (décroissant avant), f(1)=−4 (minimum) et f(5)=8 (maximum), le maximum global de f est :
