Objectif Général 4 — Trigonométrie et angles orientés. Mesure principale, relation de Chasles, congruence modulo 2π.
Un angle orienté de deux vecteurs non nuls u et v, noté (u,v), est mesuré en radians dans le sens direct (trigonométrique, positif) ou le sens indirect (négatif).
Toute mesure de l'angle orienté (u,v) s'écrit θ + 2kπ, k ∈ ℤ. On note (u,v) ≡ θ [2π] (« θ modulo 2π »).
La mesure principale est l'unique mesure appartenant à l'intervalle ]−π ; π].
Mesure principale de 17π/4 : 17π/4 = 4π + π/4 = 2×(2π) + π/4, donc 17π/4 ≡ π/4 [2π]. Comme π/4 ∈ ]−π;π], la mesure principale est π/4.
Mesure principale de −13π/3 : −13π/3 + 4π = −13π/3 + 12π/3 = −π/3 ∈ ]−π;π]. Mesure principale : −π/3.
Pour tous vecteurs non nuls u, v, w :
(u,v) + (v,w) = (u,w) [2π]
(v,u) = −(u,v) [2π] (antisymétrie)
(u,u) ≡ 0 [2π]
(−u,v) ≡ (u,v) + π [2π] ; (u,−v) ≡ (u,v) + π [2π] ; (−u,−v) ≡ (u,v) [2π]
Sachant (u,v) ≡ 2π/3 [2π] et (v,w) ≡ π/4 [2π], calculer (u,w).
11π/12 ∈ ]−π;π], donc mesure principale : 11π/12.
a ≡ b [2π] signifie qu'il existe k ∈ ℤ tel que a = b + 2kπ. La congruence est compatible avec l'addition : si a≡b[2π] et c≡d[2π], alors a+c ≡ b+d [2π].
Déterminer la mesure principale de l'angle 9π/2.
9π/2 = 4π + π/2 = 2×(2π) + π/2, donc 9π/2 ≡ π/2 [2π].
Comme π/2 ∈ ]−π;π], la mesure principale est π/2.
Déterminer la mesure principale de l'angle −7π/2.
−7π/2 + 4π = −7π/2 + 8π/2 = π/2 ∈ ]−π;π].
Mesure principale : π/2.
Sachant (u,v) ≡ 5π/6 [2π] et (v,w) ≡ −π/3 [2π], déterminer la mesure principale de (u,w).
π/2 ∈ ]−π;π], donc mesure principale : π/2.
Sachant (u,v) ≡ 3π/4 [2π], déterminer les mesures principales de (v,u) et de (−u,v).
(v,u) = −(u,v) = −3π/4 [2π] (déjà dans ]−π;π]).
(−u,v) = (u,v)+π = 3π/4+π = 7π/4 [2π]. On ramène à la mesure principale : 7π/4 − 2π = −π/4.
On sait que (u,v) ≡ x − π/6 [2π], (v,w) ≡ 2x + π/3 [2π], et (u,w) ≡ π/2 [2π]. Déterminer les valeurs possibles de x dans ]−π ; π].
Par la relation de Chasles : (u,v)+(v,w) = (u,w) [2π], soit :
On divise cette congruence par 3 : x ≡ π/9 [2π/3], ce qui donne x = π/9 + k×(2π/3), k∈ℤ.
Pour k=0 : x = π/9. Pour k=1 : x = π/9+2π/3 = π/9+6π/9 = 7π/9. Pour k=−1 : x = π/9−2π/3 = π/9−6π/9 = −5π/9.
Ces trois valeurs sont dans ]−π;π] et donnent toutes les solutions distinctes sur cet intervalle : x ∈ {−5π/9 ; π/9 ; 7π/9}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La mesure principale d'un angle orienté est :
La relation de Chasles pour les angles orientés s'écrit :
(v,u) est égal à :
La mesure principale de 9π/4 est :
(u,u) est congru à :
(−u,v) est congru à :
La mesure principale de −5π/2 est :
Si (u,v) ≡ π/3 [2π] et (v,w) ≡ π/6 [2π], alors (u,w) est congru à :
Deux vecteurs colinéaires de même sens vérifient :
Deux vecteurs colinéaires de sens contraires vérifient :
