Objectif Général 5 — Statistique descriptive à une variable. Vocabulaire, tableaux d'effectifs, paramètres de position et de dispersion d'une série statistique.
La population est l'ensemble des éléments étudiés ; chaque élément est un individu. Le caractère étudié peut être qualitatif (non mesurable, ex : couleur) ou quantitatif (mesurable, ex : note, taille) ; un caractère quantitatif est discret (valeurs isolées) ou continu (classes de valeurs).
Chaque valeur prise par le caractère est une modalité ou valeur xᵢ. L'effectif nᵢ est le nombre d'individus ayant la modalité xᵢ. L'effectif total est n = Σnᵢ. La fréquence de xᵢ est fᵢ = nᵢ / n (souvent exprimée en %).
On relève la note sur 20 obtenue par 10 élèves d'une classe à un devoir de mathématiques :
8, 10, 12, 10, 14, 8, 10, 16, 12, 10
Population : les 10 élèves. Caractère étudié : la note, quantitatif discret. Effectif total : n = 10.
L'effectif cumulé croissant (ECC) associé à xᵢ est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à xᵢ. Il s'obtient en additionnant les effectifs des modalités jusqu'à xᵢ incluse.
| Note xᵢ | Effectif nᵢ | Fréquence fᵢ | ECC |
|---|---|---|---|
| 8 | 2 | 0,20 (20%) | 2 |
| 10 | 4 | 0,40 (40%) | 6 |
| 12 | 2 | 0,20 (20%) | 8 |
| 14 | 1 | 0,10 (10%) | 9 |
| 16 | 1 | 0,10 (10%) | 10 |
8 élèves sur 10 ont une note inférieure ou égale à 12 (ECC = 8 en face de la valeur 12). La somme des fréquences vaut toujours 1 (ici 0,20+0,40+0,20+0,10+0,10 = 1).
x̄ = (1/n) × Σ nᵢxᵢ
On range les valeurs par ordre croissant. Si n est impair, la médiane est la valeur centrale (rang (n+1)/2). Si n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs n/2 et n/2+1).
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25% des données lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui soient inférieures ou égales. L'écart interquartile Q3 − Q1 mesure la dispersion des 50% « centraux » de la série.
Série ordonnée : 8, 8, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 16.
n = 10 est pair : médiane = moyenne des 5ᵉ et 6ᵉ valeurs = (10+10)/2 = 10.
Q1 = 3ᵉ valeur de la série ordonnée = 10. Q3 = 8ᵉ valeur = 12. Écart interquartile = 12 − 10 = 2.
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne :
V = (1/n) × Σ nᵢ(xᵢ − x̄)²
L'écart-type est σ = √V (il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance).
Écart-type : σ = √5,8 ≈ 2,41.
Une valeur de σ proche de 0 indiquerait des notes très resserrées autour de la moyenne ; ici σ ≈ 2,41 traduit une dispersion modérée.
Un contrôleur relève le nombre de pièces défectueuses trouvées dans 12 lots : 2, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 1.
1. On compte les occurrences de chaque valeur (n = 12) :
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| nᵢ | 3 | 5 | 3 | 1 |
2. fᵢ = nᵢ/12 : f(1) = 3/12 ≈ 0,25 ; f(2) = 5/12 ≈ 0,42 ; f(3) = 3/12 = 0,25 ; f(4) = 1/12 ≈ 0,08. Vérification : 0,25+0,42+0,25+0,08 ≈ 1.
Avec le tableau de l'exercice 1 (valeurs 1, 2, 3, 4 et effectifs 3, 5, 3, 1), calculer les effectifs cumulés croissants (ECC), puis dire combien de lots ont au plus 2 pièces défectueuses.
| xᵢ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| ECC | 3 | 8 | 11 | 12 |
ECC(2) = 3+5 = 8 : 8 lots ont au plus 2 pièces défectueuses.
La taille (en cm) de 8 plants de tomates donne le tableau suivant :
| xᵢ (cm) | 30 | 32 | 34 | 36 |
|---|---|---|---|---|
| nᵢ | 3 | 3 | 1 | 1 |
Calculer la taille moyenne des plants.
La taille moyenne est 32 cm.
On relève la température (°C) mesurée à midi pendant 11 jours : 18, 21, 19, 23, 20, 18, 25, 21, 19, 20, 22.
Deux ateliers A et B mesurent chacun 6 pièces (en mm) :
Atelier A : 10, 12, 14, 12, 10, 14
Atelier B : 8, 12, 16, 10, 14, 12
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Pour la série des 10 notes (8,8,10,10,10,10,12,12,14,16), l'effectif total n vaut :
La moyenne de cette série est :
La médiane de cette série est :
La fréquence de la modalité 10 est :
L'effectif cumulé croissant pour x ≤ 12 vaut :
Le premier quartile Q1 de cette série est :
Le troisième quartile Q3 de cette série est :
La variance de cette série est :
L'écart-type de cette série vaut environ :
Pourquoi la médiane est-elle la moyenne des 5ᵉ et 6ᵉ valeurs dans cette série ?
