Objectif Général 6 — Analyse combinatoire. Principes additif et multiplicatif, p-uplets, arrangements, permutations et combinaisons.
Si A et B sont deux ensembles finis disjoints (sans élément commun), alors card(A ∪ B) = card(A) + card(B). Plus généralement, on additionne les effectifs de cas qui s'excluent mutuellement.
Si une situation se décompose en une succession de p choix indépendants, offrant respectivement n₁, n₂, …, n_p possibilités, alors le nombre total de résultats possibles est n₁ × n₂ × … × n_p.
Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus (une entrée, un plat, un dessert) peut-on composer ?
Un p-uplet (ou p-liste) d'un ensemble à n éléments est une suite ordonnée de p éléments, choisis avec répétition possible. Le nombre de p-uplets est nᵖ.
Pour n entier naturel, n! = n × (n−1) × … × 2 × 1, avec par convention 0! = 1.
Un code PIN comporte 4 chiffres pris parmi 0 à 9, avec répétition possible et l'ordre compte. Nombre de codes possibles :
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est une liste ordonnée de p éléments distincts pris parmi les n. Leur nombre est :
A(n,p) = n! / (n−p)! = n × (n−1) × … × (n−p+1)
Une permutation de n éléments est un arrangement de n éléments parmi n (cas p = n) : il y en a A(n,n) = n!.
Tiercé dans l'ordre parmi 8 chevaux (3 places distinctes, sans répétition) :
Nombre de façons de ranger 5 livres différents sur une étagère (tous les livres, ordre important) :
Une combinaison de p éléments parmi n (p ≤ n) est un sous-ensemble de p éléments distincts, où l'ordre n'a pas d'importance. Leur nombre est :
C(n,p) = n! / (p!(n−p)!) = A(n,p) / p!
C(n,0) = 1 ; C(n,n) = 1 ; C(n,p) = C(n,n−p) (symétrie)
Relation de Pascal : C(n,p) = C(n−1,p−1) + C(n−1,p)
Choisir une équipe de 3 délégués parmi 12 élèves (ordre sans importance) :
Un atelier propose 5 modèles de vis et 3 types de rondelles. Combien d'assemblages (une vis, une rondelle) différents peut-on former ?
Par le principe multiplicatif : nombre d'assemblages = 5 × 3 = 15.
Une plaque d'immatriculation est composée de 2 lettres (parmi 26, avec répétition possible) suivies de 3 chiffres (parmi 0 à 9, avec répétition possible). Combien de plaques différentes peut-on former ?
Nombre de choix pour les 2 lettres : 26² = 676. Nombre de choix pour les 3 chiffres : 10³ = 1000.
Une course rassemble 10 coureurs. Combien de podiums (1er, 2e, 3e distincts) peut-on former ?
L'ordre compte (1er ≠ 2e ≠ 3e) et sans répétition : c'est un arrangement de 3 éléments parmi 10.
On veut former un comité de 4 personnes parmi 15 candidats (les 4 membres ont le même rôle, l'ordre n'a pas d'importance). Combien de comités différents peut-on constituer ?
L'ordre n'a pas d'importance : c'est une combinaison de 4 éléments parmi 15.
Il y a 1365 comités possibles.
Un jury est formé de 8 hommes et 6 femmes. On souhaite constituer un comité de 5 personnes contenant exactement 2 femmes (et donc 3 hommes). Combien de comités différents sont possibles ?
On choisit indépendamment 2 femmes parmi 6, puis 3 hommes parmi 8, et on applique le principe multiplicatif.
Il y a 840 comités possibles avec exactement 2 femmes.
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5! est égal à :
0! est égal à :
Le nombre de p-uplets (avec répétition, ordre important) de p éléments parmi n est :
A(5,2) est égal à :
C(6,2) est égal à :
La formule A(n,p) = n!/(n−p)! correspond à :
On a toujours :
Le nombre de façons de ranger 4 livres différents sur une étagère est :
Choisir 2 délégués (rôle identique) parmi 5 élèves se calcule par :
Le nombre de mots (avec répétition possible) de 3 lettres parmi 26 est :
