Objectif Général 7 — Calcul intégral. Primitives, intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, propriétés et calcul d'aires.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F'(x) = f(x) pour tout x de I.
Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions x ↦ F(x) + k, où k est une constante réelle.
| Fonction f | Primitive F (sur l'intervalle usuel) |
|---|---|
| f(x) = k (constante) | F(x) = kx |
| f(x) = xⁿ (n ≠ −1) | F(x) = xⁿ⁺¹/(n+1) |
| f(x) = 1/x (x > 0) | F(x) = ln x |
| f(x) = eˣ | F(x) = eˣ |
| f(x) = cos x | F(x) = sin x |
| f(x) = sin x | F(x) = −cos x |
Une primitive de f(x) = 3x² − 2x + 5 est F(x) = x³ − x² + 5x + C (on vérifie : F'(x) = 3x² − 2x + 5 = f(x)).
Soit f continue sur [a,b] et F une primitive de f sur [a,b]. L'intégrale de f entre a et b est le nombre :
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), noté aussi [F(x)]ₐᵇ
Ce résultat ne dépend pas du choix de la primitive F (la constante s'élimine dans la différence).
Calcul de ∫₀² x² dx : une primitive de x² est x³/3.
Calcul de ∫₁² (2x+1) dx : une primitive de 2x+1 est x²+x.
∫ₐᵇ (f+g)(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ₐᵇ g(x)dx et ∫ₐᵇ k·f(x)dx = k∫ₐᵇ f(x)dx
∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵦᶜ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx
Si f ≥ 0 sur [a,b] (avec a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f(x)dx ≥ 0.
∫ᵦₐ f(x)dx = −∫ₐᵇ f(x)dx et ∫ₐₐ f(x)dx = 0.
Si f est continue et positive sur [a,b], l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b (exprimée en unités d'aire) est :
A = ∫ₐᵇ f(x)dx
Aire sous la parabole y = x² entre x=0 et x=3 (f est positive sur [0,3]) :
Déterminer une primitive F sur ℝ de la fonction f(x) = 3x² − 2x + 5.
On primitive terme à terme : une primitive de 3x² est x³, de −2x est −x², de 5 est 5x.
F(x) = x³ − x² + 5x (+ C, on peut prendre C = 0). Vérification : F'(x) = 3x² − 2x + 5 = f(x). ✓
Calculer ∫₀¹ (2x+3) dx.
Une primitive de 2x+3 est x²+3x.
Calculer ∫₁³ (x² − 1) dx.
Une primitive de x²−1 est x³/3 − x.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de f(x) = x², l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 3.
f(x) = x² ≥ 0 sur [0,3], donc l'aire est A = ∫₀³ x² dx.
Soit f(x) = 4x³ − 6x² + 2.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une primitive de f(x) = x² sur ℝ est :
∫ₐᵃ f(x)dx est toujours égal à :
∫ᵦₐ f(x)dx est égal à :
Une primitive de f(x) = 1/x sur ]0;+∞[ est :
Une primitive de f(x) = eˣ est :
∫₀² x² dx est égal à :
∫₁² (2x+1) dx est égal à :
Si f ≥ 0 sur [a,b] (a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f(x)dx est :
La relation de Chasles pour les intégrales s'écrit :
L'aire sous la courbe de f(x) = x² entre x=0 et x=3 (f ≥ 0) vaut :
