Objectif Général 8 — Transformations du plan. Translations, symétries, rotations : définitions, propriétés de conservation et composées.
Une isométrie du plan est une transformation qui conserve les distances : si M et N ont pour images respectives M' et N', alors M'N' = MN pour tous points M, N.
• Translation de vecteur u : à M associe M' tel que MM⃗' = u.
• Symétrie centrale de centre O : à M associe M' tel que O soit le milieu de [MM'].
• Symétrie orthogonale (réflexion) d'axe (d) : à M associe M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM'] (M'=M si M ∈ (d)).
• Rotation de centre O et d'angle θ : à M (≠O) associe M' tel que OM' = OM et (OM, OM') = θ [2π].
Les distances, l'alignement des points, le parallélisme et la perpendicularité des droites, les angles géométriques, les aires, et transforme un segment en segment de même longueur, un cercle en cercle de même rayon.
La translation et la rotation sont des isométries directes (elles conservent les angles orientés). La symétrie orthogonale est une isométrie indirecte (elle change le sens des angles orientés). La symétrie centrale est une rotation particulière d'angle π, donc directe.
Translation de vecteur u(3;−1) : l'image de A(2;5) est A'(2+3 ; 5−1) = A'(5;4).
Symétrie centrale de centre O(1;1) : l'image de A(4;3) est A' = 2O − A = (2×1−4 ; 2×1−3) = A'(−2;−1).
Réflexion d'axe (Ox) : l'image de A(2;5) est A'(2;−5) (on change le signe de l'ordonnée).
Rotation de centre O, angle +90° : l'image de A(x;y) est A'(−y;x). Pour A(3;0), on obtient A'(0;3).
La composée de deux réflexions d'axes parallèles (d₁) puis (d₂), distants de a, est la translation de vecteur perpendiculaire aux axes, de norme 2a, dirigé de (d₁) vers (d₂).
La composée de deux réflexions d'axes sécants en O, faisant un angle θ (de (d₁) vers (d₂)), est la rotation de centre O et d'angle 2θ.
Réflexions d'axes parallèles x=1 puis x=4 (distants de 3). Image de A(0;0) : réflexion d'axe x=1 donne A'(2;0) ; réflexion de A' d'axe x=4 donne A''(6;0).
Ceci correspond bien à la translation de vecteur (2×3 ; 0) = (6;0), car A(0;0) + (6;0) = (6;0) = A''. ✓
Soit u le vecteur de coordonnées (−2;4). Déterminer les coordonnées de l'image A' du point A(5;1) par la translation de vecteur u.
A'(3;5).
Déterminer l'image B' du point B(−3;2) par la symétrie centrale de centre O(2;−1).
O est le milieu de [BB'], donc B' = 2O − B :
B'(7;−4).
Déterminer l'image C' du point C(4;2) par la rotation de centre O(0;0) et d'angle +90° (sens direct). On rappelle que pour cette rotation, l'image de (x;y) est (−y;x).
C'(−2;4). Vérification des distances : OC = √(16+4) = √20 ; OC' = √(4+16) = √20. ✓ (distance au centre conservée)
La réflexion d'axe la droite (Δ) d'équation y=x associe à tout point (x;y) le point (y;x) (on échange les deux coordonnées). Déterminer l'image D' du point D(3;−1) par cette réflexion, puis vérifier que DD' est bien perpendiculaire à (Δ).
D' s'obtient en échangeant les coordonnées de D(3;−1) : D'(−1;3).
Vecteur DD' = (−1−3 ; 3−(−1)) = (−4;4), de coefficient directeur −1. La droite (Δ) : y=x a pour coefficient directeur 1. Le produit des coefficients directeurs vaut 1×(−1) = −1, donc les droites sont bien perpendiculaires. ✓
On considère les droites parallèles (d₁) d'équation x=1 et (d₂) d'équation x=4. On applique à un point M la réflexion d'axe (d₁), puis on applique la réflexion d'axe (d₂) à l'image obtenue.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une isométrie du plan est une transformation qui conserve :
Dans une symétrie centrale de centre O, pour tout point M d'image M' :
La symétrie orthogonale (réflexion) est une isométrie :
L'image de A(2;5) par la translation de vecteur u(3;−1) est :
L'image de A(3;0) par la rotation de centre O et d'angle +90° est :
L'image de A(4;3) par la symétrie centrale de centre O(1;1) est :
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est :
La composée de deux réflexions d'axes sécants en O, d'angle θ, est :
Une isométrie transforme toujours un cercle de rayon r en :
L'image de A(2;5) par la réflexion d'axe (Ox) est :
