Objectif Général 1 — Algèbre. Résolution d'équations et d'inéquations contenant des racines carrées : conditions d'existence, élévation au carré, et vérification des solutions.
Pour A une expression et B un nombre ou une expression : √A = B ⟺ { B ≥ 0 et A = B² }. La condition B ≥ 0 est indispensable, car une racine carrée est toujours positive ou nulle : si on l'oublie, on risque d'introduire des solutions parasites.
Résoudre √(2x+3) = x. Condition : x ≥ 0 (et 2x+3 ≥ 0, soit x ≥ −3/2, condition moins restrictive).
Seul x = 3 vérifie x ≥ 0 (x = −1 est rejeté). Vérification : √(2×3+3) = √9 = 3 = x. ✓ S = {3}.
√A = √B ⟺ { A ≥ 0 (ou B ≥ 0) et A = B }. Comme A et B sont égaux, il suffit de vérifier qu'une seule des deux expressions est positive ou nulle.
Résoudre √(x+2) = √(2x−1). Condition : 2x−1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2 (elle entraîne x+2 ≥ 0 automatiquement).
x = 3 vérifie x ≥ 1/2. Vérification : √5 = √5. ✓ S = {3}.
Une racine carrée étant toujours ≥ 0, le signe de B change la méthode :
| Inéquation | Condition sur B | Équivalence |
|---|---|---|
| √A ≤ B | toujours (si B<0, aucune solution) | A ≥ 0, B ≥ 0 et A ≤ B² |
| √A < B | idem | A ≥ 0, B > 0 et A < B² |
| √A ≥ B | si B < 0 | vrai dès que A ≥ 0 (domaine) |
| √A ≥ B | si B ≥ 0 | A ≥ B² |
Résoudre √(x−1) ≤ 3. Condition d'existence : x ≥ 1. Comme B = 3 ≥ 0 :
En combinant avec x ≥ 1 : S = [1 ; 10].
1) Déterminer les conditions d'existence de toutes les racines carrées (expression sous le radical ≥ 0).
2) Isoler la racine, poser la condition de signe du second membre.
3) Élever au carré, résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue.
4) Confronter les solutions obtenues aux conditions posées en 1) et 2), puis vérifier par substitution.
Élever au carré sans condition de signe transforme l'équation en une nouvelle équation qui peut avoir plus de solutions que l'équation de départ (solutions dites « parasites »). C'est pourquoi la vérification finale est indispensable.
Résoudre dans R l'équation √(x+5) = 3.
Condition : x+5 ≥ 0, soit x ≥ −5. Comme B = 3 ≥ 0, on élève au carré :
x = 4 vérifie x ≥ −5. Vérification : √(4+5) = √9 = 3. ✓ S = {4}.
Résoudre dans R l'équation √(2x−1) = √(x+4).
Condition : 2x−1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2.
x = 5 vérifie x ≥ 1/2. Vérification : √9 = 3 = √9. ✓ S = {5}.
Résoudre dans R l'équation √(x+7) = x+1.
Condition : x+1 ≥ 0, soit x ≥ −1 (et x+7 ≥ 0, condition moins restrictive).
D'où x = 2 ou x = −3. Seul x = 2 vérifie x ≥ −1 (x = −3 est une solution parasite, rejetée). Vérification : √9 = 3 = 2+1. ✓ S = {2}.
Résoudre dans R l'inéquation √(x−2) < 4.
Condition d'existence : x−2 ≥ 0, soit x ≥ 2. Comme B = 4 > 0 :
En combinant avec x ≥ 2 : S = [2 ; 18[.
Résoudre dans R l'inéquation √(2x+5) ≥ x.
Domaine d'existence : 2x+5 ≥ 0, soit x ≥ −5/2. On distingue deux cas selon le signe de B = x.
Cas 1 : x < 0. Comme √(2x+5) ≥ 0 > x, l'inégalité est automatiquement vraie sur tout le domaine : −5/2 ≤ x < 0 convient.
Cas 2 : x ≥ 0. Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré :
Discriminant : Δ = 4+20 = 24, racines x = (2±√24)/2 = 1±√6. Comme √6 ≈ 2,449, x²−2x−5 ≤ 0 pour x ∈ [1−√6 ; 1+√6]. En combinant avec x ≥ 0 : x ∈ [0 ; 1+√6].
En réunissant les deux cas : [−5/2 ; 0[ ∪ [0 ; 1+√6] = S = [−5/2 ; 1+√6] (avec 1+√6 ≈ 3,449, valeur bien inférieure à +∞ et compatible avec le domaine).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La solution de √(x+5) = 3 est :
La condition d'existence de √(2x−1) = √(x+4) est :
La solution de √(2x−1) = √(x+4) est :
√A = B équivaut à :
Pour l'équation √(x+7) = x+1, la valeur x = −3 est :
La solution de l'inéquation √(x−2) < 4 est :
Si B < 0, l'inéquation √A ≥ B (avec A ≥ 0) est :
La solution de √(2x+5) ≥ x est :
Élever au carré une équation irrationnelle sans poser de condition de signe risque de :
√A = √B équivaut à :
