Objectif Général 2 — Géométrie. Vecteurs du plan et de l'espace : coordonnées, somme, colinéarité, milieu, et extension aux trois dimensions.
Un vecteur AB est caractérisé par une direction, un sens et une longueur (norme, notée ||AB||). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
Pour trois points A, B, C quelconques : AB + BC = AC. Cette relation permet de décomposer ou de recomposer des déplacements vectoriels.
Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors AB(xB−xA ; yB−yA).
Exemple : A(1;2), B(4;6) → AB = (4−1 ; 6−2) = (3;4). Norme : ||AB|| = √(3²+4²) = √25 = 5.
Pour un vecteur u(x;y) et un réel k : k·u = (kx ; ky). Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe k ∈ R tel que v = k·u (ou si l'un des deux est nul).
u(x;y) et v(x′;y′) sont colinéaires ⟺ xy′ − x′y = 0.
u(2;3) et v(4;6) : déterminant = 2×6 − 4×3 = 12−12 = 0, donc u et v sont colinéaires (en effet v = 2u).
Application : trois points A, B, C sont alignés si AB et AC sont colinéaires. Avec A(1;1), B(3;5), C(5;9) : AB=(2;4), AC=(4;8), déterminant = 2×8−4×4 = 0 → A, B, C sont alignés.
Le milieu I du segment [AB], avec A(xA;yA) et B(xB;yB), a pour coordonnées : I( (xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ).
Milieu de A(−1;5) et B(3;−1) : I = ((−1+3)/2 ; (5−1)/2) = I(1;2).
Dans l'espace, un point est repéré par un triplet (x;y;z) et un vecteur AB par ses trois coordonnées : AB(xB−xA ; yB−yA ; zB−zA). Les opérations (somme, multiplication par un scalaire, colinéarité) se généralisent coordonnée par coordonnée.
| Notion | Plan (2 coordonnées) | Espace (3 coordonnées) |
|---|---|---|
| Vecteur AB | (xB−xA ; yB−yA) | (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA) |
| Somme u+v | (x+x′ ; y+y′) | (x+x′ ; y+y′ ; z+z′) |
| Colinéarité | xy′−x′y = 0 | v = k·u pour un même k sur les 3 coordonnées |
A(1;0;2), B(3;4;−1) : AB = (3−1 ; 4−0 ; −1−2) = AB(2;4;−3).
A(2;−1), B(5;3). Déterminer les coordonnées de AB puis sa norme.
AB = (5−2 ; 3−(−1)) = (3;4). Norme : ||AB|| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
Calculer le milieu de A(−3;7) et B(5;−1).
I = ((−3+5)/2 ; (7+(−1))/2) = (2/2 ; 6/2) = I(1;3).
Les points A(0;1), B(2;5), C(−1;−1) sont-ils alignés ?
AB = (2−0 ; 5−1) = (2;4). AC = (−1−0 ; −1−1) = (−1;−2).
Déterminant : 2×(−2) − (−1)×4 = −4+4 = 0. Comme AB et AC sont colinéaires, A, B et C sont alignés.
Déterminer k pour que u(3;−2) et v(k;4) soient colinéaires.
Colinéarité : 3×4 − k×(−2) = 0 ⟺ 12+2k = 0 ⟺ k = −6.
Soient A(1;−2;3), B(4;0;−1) et C(2;5;1) trois points de l'espace. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC (côtés opposés parallèles et de même longueur), soit D = C − AB.
D(−1;3;5). Vérification : DC = (2−(−1) ; 5−3 ; 1−5) = (3;2;−4) = AB. ✓
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Pour A(2;−1) et B(5;3), le vecteur AB a pour coordonnées :
La norme du vecteur AB(3;4) est :
Le milieu de A(−3;7) et B(5;−1) est :
La relation de Chasles s'écrit :
Les vecteurs u(2;3) et v(4;6) sont :
Pour que u(3;−2) et v(k;4) soient colinéaires, il faut k =
Les coordonnées de k·u pour u(x;y) sont :
Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si :
Dans l'espace, pour A(1;0;2) et B(3;4;−1), le vecteur AB vaut :
ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
