Objectif Général 2 — Géométrie. Barycentre de deux ou trois points pondérés : définition, propriétés, coordonnées, et application à la recherche d'ensembles de points.
Soient A et B deux points affectés de coefficients (masses) α et β réels tels que α+β ≠ 0. Le barycentre G du système {(A,α);(B,β)} est l'unique point vérifiant : α·GA + β·GB = 0 (vecteur nul).
Pour tout point M du plan, on a la relation α·MA + β·MB = (α+β)·MG. En particulier, les coordonnées de G s'obtiennent par :
xG = (α·xA + β·xB) / (α+β) et yG = (α·yA + β·yB) / (α+β)
A(1;2), B(4;8), coefficients α=1, β=2. G = ((1×1+2×4)/3 ; (1×2+2×8)/3) = ((1+8)/3 ; (2+16)/3) = G(3;6).
Cas particulier : si α=β, G est le milieu de [AB] (isobarycentre de deux points).
Le barycentre d'un système de points pondérés reste inchangé si l'on multiplie tous les coefficients par un même nombre réel non nul.
Avec A(1;1), B(4;7) : bary{(A,1);(B,2)} = ((1+8)/3 ; (1+14)/3) = (3;5). En doublant les coefficients : bary{(A,2);(B,4)} = ((2+16)/6 ; (2+28)/6) = (18/6 ; 30/6) = (3;5) — même point, ce qui confirme la propriété.
Pour {(A,α);(B,β);(C,γ)} avec α+β+γ≠0 : xG = (αxA+βxB+γxC)/(α+β+γ), et de même pour yG.
Si α+β≠0, on peut remplacer A et B par leur barycentre partiel H = bary{(A,α);(B,β)} affecté du coefficient (α+β) : G = bary{(H, α+β) ; (C, γ)}.
A(0;0), B(6;0), C(0;6), coefficients 1,1,1 (isobarycentre = centre de gravité du triangle). Directement : G = ((0+6+0)/3 ; (0+0+6)/3) = G(2;2).
Par associativité : H = milieu de [AB] = (3;0), coefficient 2. Puis G = bary{(H,2);(C,1)} = ((2×3+0)/3 ; (2×0+6)/3) = (2;2). ✓ Même résultat.
Pour trouver l'ensemble des points M vérifiant une relation du type ||α·MA + β·MB|| = k (avec α+β≠0), on introduit G = bary{(A,α);(B,β)}. La relation devient ||(α+β)·MG|| = k, soit MG = k / |α+β| : c'est un cercle de centre G et de rayon k/|α+β| (ou un point unique si k=0).
A(1;0), B(4;0). Trouver l'ensemble des points M tels que ||2MA+3MB|| = 10.
G = bary{(A,2);(B,3)} = ((2×1+3×4)/5 ; 0) = (14/5 ; 0) = (2,8 ; 0). La relation devient ||5MG|| = 10, soit MG = 2.
L'ensemble cherché est le cercle de centre G(2,8;0) et de rayon 2.
A(1;2), B(4;8). Calculer G = bary{(A,1);(B,2)}.
G = ((1×1+2×4)/3 ; (1×2+2×8)/3) = ((1+8)/3 ; (2+16)/3) = G(3;6).
A(−2;3), B(6;−1). Calculer G = bary{(A,3);(B,1)}.
G = ((3×(−2)+1×6)/4 ; (3×3+1×(−1))/4) = ((−6+6)/4 ; (9−1)/4) = (0 ; 2). G(0;2).
A(0;0), B(6;0), C(0;6). Calculer le centre de gravité G = bary{(A,1);(B,1);(C,1)} directement, puis en utilisant l'associativité (via le milieu de [AB]).
Directement : G = ((0+6+0)/3 ; (0+0+6)/3) = G(2;2).
Par associativité : H = milieu de [AB] = (3;0), coefficient 2 (=1+1). G = bary{(H,2);(C,1)} = ((2×3+0)/3 ; (2×0+6)/3) = (2;2). ✓ On retrouve le même point.
A(1;1), B(4;7). Montrer que bary{(A,1);(B,2)} et bary{(A,2);(B,4)} sont le même point.
bary{(A,1);(B,2)} = ((1+8)/3 ; (1+14)/3) = (3;5).
bary{(A,2);(B,4)} = ((2+16)/6 ; (2+28)/6) = (18/6 ; 30/6) = (3;5).
Les deux systèmes donnent le point (3;5) : c'est la propriété d'homogénéité, les coefficients (2;4) étant proportionnels à (1;2).
A(1;0), B(4;0).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
A(1;2), B(4;8). Le barycentre G = bary{(A,1);(B,2)} est :
Si α = β, le barycentre de {(A,α);(B,β)} est :
Le barycentre G de {(A,α);(B,β)} vérifie la relation vectorielle :
La propriété d'homogénéité du barycentre affirme que :
Le principe d'associativité permet de :
A(0;0), B(6;0), C(0;6). Le centre de gravité (isobarycentre) du triangle ABC est :
A(−2;3), B(6;−1). G = bary{(A,3);(B,1)} vaut :
Pour tout point M, la relation α·MA + β·MB est égale à :
A(1;0), B(4;0). L'ensemble des points M tels que ||2MA+3MB|| = 10 est :
Avec les mêmes points, l'ensemble des M tels que ||2MA+3MB|| = 0 est :
