Objectif Général 2 — Géométrie. Structure d'espace vectoriel réel, combinaisons linéaires, familles libres et génératrices, bases et dimension dans le plan et l'espace.
Un ensemble E muni d'une addition + et d'une multiplication par un réel (loi externe) est un espace vectoriel réel si, pour tous u, v, w ∈ E et tous α, β ∈ ℝ :
L'ensemble V2 des vecteurs du plan et l'ensemble V3 des vecteurs de l'espace, munis de l'addition vectorielle usuelle et de la multiplication par un réel, sont des ℝ-espaces vectoriels.
Avec u(1;2), v(3;−1) : u+v = (4;1). Alors 2(u+v) = (8;2). D'autre part 2u = (2;4) et 2v = (6;−2), et leur somme est (2+6 ; 4−2) = (8;2). On retrouve bien 2(u+v) = 2u+2v, ce qui illustre la distributivité.
Soient u₁, u₂, …, uₙ des vecteurs de E et λ₁, λ₂, …, λₙ des réels. Le vecteur λ₁u₁ + λ₂u₂ + … + λₙuₙ est appelé combinaison linéaire des vecteurs u₁, …, uₙ.
Avec u(1;2), v(2;−1), calculer w = 3u − 2v.
w = (3×1 − 2×2 ; 3×2 − 2×(−1)) = (3−4 ; 6+2) = (−1 ; 8)
Une famille (u₁, …, uₙ) est libre (ou linéairement indépendante) si la seule combinaison linéaire nulle λ₁u₁+…+λₙuₙ = 0 est celle où tous les λᵢ sont nuls. Dans le cas contraire, elle est dite liée.
Dans le plan V2, deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) sont liés (colinéaires) si et seulement si leur déterminant est nul : xy′ − x′y = 0. Ils forment une famille libre sinon.
Dans l'espace V3, trois vecteurs forment une famille libre si et seulement si leur déterminant (calculé par la règle de Sarrus ou par développement) est non nul.
u(1;2), v(2;−1) : déterminant = 1×(−1) − 2×2 = −1−4 = −5 ≠ 0 → la famille (u,v) est libre.
Dans l'espace : u(1;1;0), v(0;1;1), w(1;0;1). Déterminant = 1×(1×1−1×0) − 1×(0×1−1×1) + 0×(0×0−1×1) = 1×1 − 1×(−1) + 0 = 1+1 = 2 ≠ 0 → la famille (u,v,w) est libre.
Une famille est génératrice de E si tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire de cette famille. Une base de E est une famille à la fois libre et génératrice. Le nombre de vecteurs d'une base est la dimension de E, notée dim E.
dim V2 = 2 et dim V3 = 3. Dans V2, toute famille libre de 2 vecteurs est automatiquement une base. Dans V3, toute famille libre de 3 vecteurs est automatiquement une base. Tout vecteur se décompose alors de façon unique dans une base donnée.
u(1;2), v(2;−1) forment une base de V2 (famille libre de 2 vecteurs, cf. section 3). Exprimer w(4;3) dans cette base : on cherche a, b tels que a+2b = 4 et 2a−b = 3.
De la première équation : a = 4−2b. En remplaçant : 2(4−2b)−b = 3 → 8−4b−b = 3 → −5b = −5 → b = 1, puis a = 4−2 = 2.
Donc w = 2u + v (vérification : 2(1;2)+(2;−1) = (2+2 ; 4−1) = (4;3) ✓).
Soient u(2;−1) et v(−3;4). Calculer w = 3u − 2v.
w = (3×2 − 2×(−3) ; 3×(−1) − 2×4) = (6+6 ; −3−8) = (12 ; −11).
u(3;6) et v(2;4) sont-ils colinéaires ? Si oui, exprimer la relation entre eux.
Déterminant = 3×4 − 2×6 = 12−12 = 0 → u et v sont colinéaires (famille liée).
On remarque u = 3×(1;2) et v = 2×(1;2), donc v = (2/3)u.
Soient u(1;3), v(−2;1) et w(5;8). Montrer que (u,v) est une base de V2, puis exprimer w dans cette base.
Déterminant de (u,v) : 1×1 − (−2)×3 = 1+6 = 7 ≠ 0 → famille libre. Comme dim V2 = 2, la famille (u,v) est une base de V2.
On cherche a, b tels que a·u + b·v = w : a − 2b = 5 et 3a + b = 8.
De la première : a = 5+2b. En remplaçant dans la seconde : 3(5+2b)+b = 8 → 15+6b+b = 8 → 7b = −7 → b = −1, donc a = 5−2 = 3.
Donc w = 3u − v (vérification : 3(1;3)−(−2;1) = (3+2 ; 9−1) = (5;8) ✓).
Dans l'espace, u(1;1;0), v(0;1;1), w(1;0;1). La famille (u,v,w) est-elle libre ? Est-ce une base de V3 ?
Déterminant = 1×(1×1−1×0) − 1×(0×1−1×1) + 0×(0×0−1×1) = 1×1 − 1×(−1) + 0 = 1+1 = 2 ≠ 0.
La famille est donc libre. Comme dim V3 = 3 et que la famille comporte exactement 3 vecteurs libres, c'est une base de V3.
Soient u(1;0;1), v(0;1;1), w(1;1;0) et t(2;3;1).
De la première : a = 2−c. En remplaçant dans la troisième : (2−c)+b = 1 → b = c−1. En remplaçant dans la deuxième : (c−1)+c = 3 → 2c = 4 → c = 2, donc b = 1 et a = 0.
Vérification : a+c = 0+2 = 2 ✓ ; b+c = 1+2 = 3 ✓ ; a+b = 0+1 = 1 ✓.
Donc t = v + 2w (le coefficient de u est nul).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
(V2,+,.) est un espace vectoriel réel car il vérifie, entre autres :
Le vecteur 3u − 2v est :
u(2;−1), v(−3;4). Le vecteur 3u−2v vaut :
u(3;6) et v(2;4) sont-ils colinéaires ?
Deux vecteurs du plan forment une famille libre si et seulement si :
La dimension de l'espace vectoriel V2 (vecteurs du plan) est :
La dimension de l'espace vectoriel V3 (vecteurs de l'espace) est :
Une base d'un espace vectoriel E est une famille :
u(1;3), v(−2;1), w(5;8). On a w = ?
Dans l'espace, u(1;1;0), v(0;1;1), w(1;0;1) ont un déterminant égal à 2. Cette famille est :
