Objectif Général 2 — Géométrie. Produit scalaire : expressions analytique et trigonométrique, orthogonalité, formule d'Al-Kashi, calcul de distances et d'angles.
Expression analytique : pour u(x;y) et v(x′;y′), u·v = xx′ + yy′.
Expression trigonométrique : u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ, où θ est une mesure de l'angle (u,v).
En égalant les deux expressions, on obtient cos θ = (xx′+yy′) / (‖u‖×‖v‖), ce qui permet de calculer un angle à partir des coordonnées.
u(3;4), v(1;2) : u·v = 3×1+4×2 = 3+8 = 11. ‖u‖ = √(9+16) = 5, ‖v‖ = √(1+4) = √5 ≈ 2,236.
cos θ = 11/(5×2,236) ≈ 11/11,18 ≈ 0,984, d'où θ ≈ 10,3°.
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0.
Une droite (D) d'équation ax + by + c = 0 admet le vecteur n(a;b) comme vecteur normal (orthogonal à la droite) et le vecteur u(−b;a) comme vecteur directeur.
Droite (D) : 3x−2y+5 = 0. Vecteur normal n(3;−2), vecteur directeur u(2;3). Vérification : n·u = 3×2+(−2)×3 = 6−6 = 0 ✓, donc n ⊥ u.
u(2;3) et v(−3;2) : u·v = 2×(−3)+3×2 = −6+6 = 0 → u et v sont orthogonaux.
Dans un triangle ABC : BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â) (obtenue en développant ‖AC−AB‖² à l'aide du produit scalaire). Cette formule généralise le théorème de Pythagore (cas Â=90°, où cos(90°)=0).
AB = 5, AC = 7, Â = 60°. BC² = 25+49−2×5×7×cos(60°) = 74−70×0,5 = 74−35 = 39, d'où BC = √39 ≈ 6,24.
Pour (D) : ax+by+c=0 et M(xM;yM) : d(M,D) = |axM+byM+c| / √(a²+b²).
(D) : 3x−4y+1 = 0, M(2;5). d(M,D) = |3×2−4×5+1| / √(9+16) = |6−20+1| / 5 = 13/5 = 2,6.
Calculer u·v pour u(2;−1) et v(3;4).
u·v = 2×3 + (−1)×4 = 6−4 = 2.
u(4;−2) et v(1;2) sont-ils orthogonaux ?
u·v = 4×1 + (−2)×2 = 4−4 = 0 → u et v sont orthogonaux.
Déterminer k tel que u(k;3) et v(2;−1) soient orthogonaux.
On veut u·v = 0 : 2k − 3 = 0, d'où k = 3/2.
Dans un triangle ABC, AB = 6, AC = 8, Â = 60°. Calculer BC.
BC² = 36+64 − 2×6×8×cos(60°) = 100 − 96×0,5 = 100−48 = 52.
BC = √52 = 2√13 ≈ 7,21.
Soit (D) la droite passant par A(1;2) et de vecteur normal n(3;−1).
cos θ = (u·AB)/(‖u‖×‖AB‖) = (1×4+3×1)/(√10×√17) = 7/√170 ≈ 7/13,04 ≈ 0,537, d'où θ ≈ 57,5°.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'expression analytique du produit scalaire de u(x;y) et v(x′;y′) est :
u(3;4), v(1;2). u·v vaut :
u et v sont orthogonaux si et seulement si :
Le vecteur normal à la droite ax+by+c=0 est :
u(4;−2), v(1;2). u et v sont-ils orthogonaux ?
La formule d'Al-Kashi dans un triangle ABC s'écrit :
AB = 6, AC = 8, Â = 60°. BC² vaut :
La distance d'un point M(xM;yM) à la droite ax+by+c=0 est donnée par :
Le cosinus de l'angle entre u et v est donné par :
u(2;−1), v(3;4). u·v vaut :
