Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Ensemble de définition, parité, périodicité, opérations sur les fonctions et sens de variation d'une composée.
Une fonction numérique f associe à chaque réel x d'un ensemble Df (l'ensemble de définition) un unique réel noté f(x). Déterminer Df, c'est trouver tous les x pour lesquels f(x) existe (dénominateur non nul, radicande positif ou nul, etc.).
f(x) = √(x−2)/(x+1) : il faut x−2 ≥ 0, soit x ≥ 2 (et x+1 ≠ 0, automatiquement vérifié car x≥2). Donc Df = [2 ; +∞[.
g(x) = 1/(x²−4) : il faut x²−4 ≠ 0, soit x ≠ 2 et x ≠ −2. Donc Dg = ℝ \ {−2 ; 2}.
f est paire si Df est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x ∈ Df, f(−x) = f(x) (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
f est impaire si Df est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x ∈ Df, f(−x) = −f(x) (courbe symétrique par rapport à l'origine O).
f(x) = x²−3, Df = ℝ (symétrique). f(−x) = (−x)²−3 = x²−3 = f(x) → f est paire.
g(x) = x³−2x, Dg = ℝ. g(−x) = −x³+2x = −(x³−2x) = −g(x) → g est impaire.
h(x) = x²+x : h(−x) = x²−x, qui n'est égal ni à h(x), ni à −h(x) → h n'est ni paire ni impaire.
f est périodique de période T (T>0) si pour tout x ∈ Df, x+T ∈ Df et f(x+T) = f(x). La plus petite valeur de T vérifiant cette égalité est la période principale.
sin et cos ont pour période 2π ; tan a pour période π.
f(x) = sin(2x) : f(x+π) = sin(2x+2π) = sin(2x) = f(x), donc f est périodique de période π.
(f+g)(x) = f(x)+g(x) ; (f×g)(x) = f(x)×g(x) ; (f/g)(x) = f(x)/g(x) si g(x)≠0. La composée de g suivie de f est (f∘g)(x) = f(g(x)).
| g sur I | f sur g(I) | f∘g sur I |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
f(x) = x²+1, g(x) = 2x−3. (f∘g)(2) = f(g(2)) = f(1) = 1²+1 = 2. (g∘f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 2×5−3 = 7. On voit que f∘g ≠ g∘f en général.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = (x+3)/(x−5).
Il faut x−5 ≠ 0, soit x ≠ 5. Donc Df = ℝ \ {5}.
Étudier la parité de f(x) = x⁴−2x².
Df = ℝ, symétrique. f(−x) = (−x)⁴−2(−x)² = x⁴−2x² = f(x). Donc f est paire.
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = √(3−x) / (x+2).
Il faut 3−x ≥ 0, soit x ≤ 3, et x+2 ≠ 0, soit x ≠ −2. Donc Df = ]−∞ ; −2[ ∪ ]−2 ; 3].
Étudier la parité de g(x) = (x³+x)/(x²−1).
Dg = ℝ \ {−1;1}, symétrique. g(−x) = ((−x)³+(−x)) / ((−x)²−1) = (−x³−x)/(x²−1) = −(x³+x)/(x²−1) = −g(x). Donc g est impaire.
Soient f(x) = x²−4x+3 et g(x) = x−2, et h = f∘g.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble de définition de f(x) = 1/(x−3) est :
Une fonction f est paire si :
f(x) = x³ est :
L'ensemble de définition de f(x) = √(x−1) est :
(f∘g)(x) signifie :
Si f et g sont toutes deux croissantes, alors f∘g est :
Si f est croissante et g est décroissante, alors f∘g est :
La période de la fonction sin(2x) est :
f(x) = x²−4x+3, g(x) = x−2. (f∘g)(x) vaut :
f(x) = x⁴−2x² est :
