Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Limites finies et infinies, asymptotes, opérations sur les limites, formes indéterminées et méthodes de levée.
On dit que f admet pour limite L en x₀ (noté lim_{x→x₀} f(x) = L) si f(x) se rapproche d'aussi près que l'on veut de L lorsque x se rapproche de x₀.
f(x) = 2x+1 est une fonction polynôme, donc continue : lim_{x→3} f(x) = 2×3+1 = 7 (on calcule simplement l'image).
lim_{x→x₀} f(x) = +∞ (ou −∞) signifie que f(x) devient arbitrairement grand (ou petit) : la droite x=x₀ est alors asymptote verticale.
lim_{x→+∞} f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L : la droite y=L est alors asymptote horizontale.
f(x) = 1/(x−2). Quand x→2⁺, x−2→0⁺ donc f(x)→+∞ ; quand x→2⁻, f(x)→−∞. La droite x=2 est asymptote verticale.
Quand x→+∞, f(x)→0 : la droite y=0 est asymptote horizontale.
∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0 : dans ces quatre cas, on ne peut pas conclure directement et il faut transformer l'expression.
lim_{x→+∞} (x² − x) est une forme «∞−∞». On factorise : x²−x = x²(1−1/x). Quand x→+∞, 1/x→0 donc (1−1/x)→1, et x²→+∞. Par produit, la limite vaut +∞.
lim_{x→2} (x²−4)/(x−2) : on factorise x²−4 = (x−2)(x+2), on simplifie par (x−2) pour x≠2, il reste (x+2). D'où la limite = 2+2 = 4.
lim_{x→0} (√(x+1)−1)/x : on multiplie par le conjugué (√(x+1)+1). Le numérateur devient (x+1−1) = x, donc l'expression vaut 1/(√(x+1)+1), dont la limite en 0 est 1/2.
La limite en ±∞ d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré.
lim_{x→+∞} (3x²+2x−1)/(x²−5x+4) = lim 3x²/x² = 3 (mêmes degrés : rapport des coefficients dominants).
lim_{x→+∞} (2x+1)/(x²−3) = lim 2x/x² = lim 2/x = 0 (degré du numérateur < degré du dénominateur).
Calculer lim_{x→1} (3x²−2x+5).
Fonction polynôme, continue sur ℝ : lim = 3×1²−2×1+5 = 3−2+5 = 6.
Calculer lim_{x→3} (x²−9)/(x−3).
x²−9 = (x−3)(x+3), donc l'expression vaut x+3 pour x≠3. lim_{x→3}(x+3) = 6.
Calculer lim_{x→+∞} (2x²−3x+1)/(5x²+x−4).
Même degré au numérateur et au dénominateur : la limite est le rapport des coefficients dominants. lim = 2x²/5x² = 2/5.
Calculer lim_{x→0} (√(x+4)−2)/x.
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué (√(x+4)+2) : le numérateur devient (x+4−4) = x.
L'expression vaut donc x/(x×(√(x+4)+2)) = 1/(√(x+4)+2). À x=0 : lim = 1/(2+2) = 1/4.
Soit f(x) = (2x²+3)/(x−1).
Quand x→±∞, le terme 5/(x−1) tend vers 0, donc f(x) se rapproche de 2x+2. La droite y = 2x+2 est asymptote oblique en +∞ et en −∞.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
lim_{x→2}(3x−1) vaut :
lim_{x→3} (x²−9)/(x−3) vaut :
Parmi les formes suivantes, laquelle est indéterminée ?
lim_{x→+∞} (2x²−3x+1)/(5x²+x−4) vaut :
L'asymptote verticale de f(x) = 1/(x−2) est la droite :
lim_{x→+∞} 1/(x−2) vaut :
lim_{x→0} (√(x+4)−2)/x vaut :
Pour une fonction rationnelle, la limite en +∞ est déterminée par :
f(x) = (2x²+3)/(x−1) admet une asymptote oblique d'équation :
lim_{x→+∞} (x²−x) vaut :
