Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Continuité en un point, sur un intervalle, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a (ou sur un intervalle admettant a comme borne). f est continue en a si :
Autrement dit : la limite existe, est finie, et coïncide avec la valeur de la fonction en a. Graphiquement, la courbe ne présente « pas de saut » en ce point : on peut la tracer sans lever le crayon.
f est continue à gauche en a si lim (x→a⁻) f(x) = f(a) ; continue à droite en a si lim (x→a⁺) f(x) = f(a).
f est continue en a si et seulement si elle est continue à gauche ET à droite en a, avec la même valeur f(a).
Soit f(x) = x² − 1 si x < 2, et f(x) = 3x − 1 si x ≥ 2.
Limite à gauche en 2 : lim (x→2⁻) (x²−1) = 4−1 = 3. Limite à droite : f(2) = 3×2−1 = 5.
Les deux limites latérales (3 et 5) sont différentes : f n'est pas continue en x = 2. On parle de discontinuité de saut, d'amplitude 5 − 3 = 2.
f est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de I.
Sont continues sur leur ensemble de définition : les fonctions polynômes (donc continues sur ℝ), les fonctions rationnelles (quotients de polynômes), la fonction x ↦ √x (sur [0, +∞[), les fonctions sinus et cosinus (sur ℝ).
Si u et v sont continues sur I, alors u + v, u × v, ku (k réel) sont continues sur I ; u / v est continue en tout point où v ne s'annule pas ; la composée v ∘ u est continue là où elle est définie, si u et v sont continues.
g(x) = √(x−3) / (x−5). g est définie pour x − 3 ≥ 0 et x ≠ 5, donc sur D = [3 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.
Comme quotient d'une composée continue (√ de x−3, continue sur [3,+∞[) par une fonction affine non nulle sur chaque intervalle, g est continue sur D (continue sur [3;5[ et continue sur ]5;+∞[).
Si f n'est pas définie en a, mais admet en a une limite finie L, on dit que f est prolongeable par continuité en a. La fonction g définie par g(x) = f(x) pour x ≠ a et g(a) = L est alors continue en a : c'est le prolongement par continuité de f en a.
h(x) = (√(x+1) − 1) / x, non définie en 0. En multipliant par la quantité conjuguée :
Donc lim (x→0) h(x) = 1/(√1+1) = 1/2. h est prolongeable par continuité en 0, en posant h(0) = 1/2.
Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.
Cas particulier (k = 0) : si f est continue sur [a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[.
Si, de plus, f est strictement monotone sur [a ; b], alors la solution c est unique dans [a ; b].
Soit f(x) = x³ − 3x − 1. f est un polynôme, donc continue sur ℝ. f(1,5) = 3,375 − 4,5 − 1 = −2,125 < 0. f(2) = 8 − 6 − 1 = 1 > 0.
f est continue sur [1,5 ; 2] et change de signe : d'après le TVI, l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution c ∈ ]1,5 ; 2[.
Soit f définie par f(x) = x² − 1 si x < 2, et f(x) = 3x − 1 si x ≥ 2. Étudier la continuité de f en x = 2.
Limite à gauche : lim (x→2⁻) (x²−1) = 4 − 1 = 3.
Valeur en 2 (branche de droite) : f(2) = 3×2 − 1 = 5, et lim (x→2⁺) f(x) = 5.
Les limites à gauche (3) et à droite (5) sont différentes, donc f n'est pas continue en x = 2 (discontinuité de saut, amplitude 2).
Déterminer le domaine de définition de g(x) = √(x−3) / (x−5) et justifier que g est continue sur ce domaine.
Il faut x − 3 ≥ 0, soit x ≥ 3, et x − 5 ≠ 0, soit x ≠ 5. Donc D = [3 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.
x ↦ √(x−3) est continue sur [3 ; +∞[ (composée de x−3, continue, et de √, continue sur [0,+∞[), et x ↦ x−5 est continue sur ℝ et ne s'annule pas sur [3;5[∪]5;+∞[. Le quotient de deux fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s'annule pas : g est continue sur D.
Soit g(x) = (x² − 9) / (x − 3), définie sur ℝ \ {3}. Montrer que g est prolongeable par continuité en 3 et donner la valeur du prolongement.
On factorise le numérateur : x² − 9 = (x−3)(x+3). Pour x ≠ 3 :
Donc lim (x→3) g(x) = 3 + 3 = 6, limite finie. g est prolongeable par continuité en 3, en posant g(3) = 6.
Soit f(x) = x³ − 3x − 1. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]1,5 ; 2[. Cette solution est-elle unique sur cet intervalle ?
f est un polynôme, donc continue sur [1,5 ; 2]. f(1,5) = 3,375 − 4,5 − 1 = −2,125 et f(2) = 8 − 6 − 1 = 1.
f(1,5) < 0 et f(2) > 0 : d'après le TVI, il existe au moins un c ∈ ]1,5 ; 2[ tel que f(c) = 0.
Unicité : f'(x) = 3x² − 3. Sur [1,5 ; 2], x ≥ 1,5 donc x² ≥ 2,25 > 1, donc f'(x) > 0 : f est strictement croissante sur cet intervalle. D'après le corollaire du TVI, la solution c est unique dans [1,5 ; 2].
Soit f définie par f(x) = ax + 3 si x ≤ 1, et f(x) = x² + 2x si x > 1, où a est un paramètre réel.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
f est continue en a signifie que :
Une fonction polynôme est continue sur :
La fonction x ↦ 1/x est continue sur :
Une discontinuité de saut en a signifie que :
Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur [a;b], il faut que f soit :
Pour g(x) = (x²−9)/(x−3), le prolongement par continuité en x=3 vaut g(3) = :
Une fonction non définie en a est prolongeable par continuité en a si :
Le corollaire du TVI (théorème de la bijection) exige en plus la continuité de f et :
La fonction x ↦ √x est continue sur :
Si f est continue sur [1,5 ; 2], f(1,5) < 0 et f(2) > 0, alors :
