Objectif Général 3 — Analyse : fonctions numériques. Nombre dérivé, fonction dérivée, opérations et formules de dérivation usuelles.
f est dérivable en a si le taux d'accroissement admet une limite finie quand h tend vers 0 :
Ce nombre f'(a), s'il existe, s'appelle le nombre dérivé de f en a.
f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)). L'équation de cette tangente est :
y = f'(a)(x − a) + f(a)
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en a sans y être dérivable.
| f(x) | f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℕ*) | n xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | −1/x² | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, k un réel constant :
f(x) = (2x−1)(x+3) : produit u=2x−1 (u'=2), v=x+3 (v'=1). f'(x) = 2(x+3) + (2x−1)(1) = 2x+6+2x−1 = 4x+5.
g(x) = (x+1)/(x−2), x≠2 : u=x+1 (u'=1), v=x−2 (v'=1). g'(x) = [1×(x−2) − (x+1)×1] / (x−2)² = (x−2−x−1)/(x−2)² = −3/(x−2)².
Soit f(x) = x² − 3x + 1. On a f'(x) = 2x − 3. En x = 2 : f(2) = 4 − 6 + 1 = −1 et f'(2) = 4 − 3 = 1.
Équation de la tangente en x=2 : y = 1×(x−2) + (−1) = x − 3.
Calculer la dérivée de f(x) = 3x² − 5x + 2.
En appliquant (xⁿ)'=nxⁿ⁻¹ terme à terme : (3x²)' = 6x, (−5x)' = −5, (2)' = 0.
Donc f'(x) = 6x − 5.
Calculer la dérivée de f(x) = (2x − 1)(x + 3), de deux façons : en développant, puis avec la formule du produit.
Méthode 1 (développement) : f(x) = (2x−1)(x+3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Donc f'(x) = 4x + 5.
Méthode 2 (formule du produit) : u=2x−1 (u'=2), v=x+3 (v'=1). f'(x) = u'v+uv' = 2(x+3) + (2x−1)(1) = 2x+6+2x−1 = 4x+5.
Les deux méthodes donnent bien f'(x) = 4x + 5.
Calculer la dérivée de f(x) = (x + 1) / (x − 2) sur son domaine de définition.
Domaine : ℝ \ {2}. On pose u = x+1 (u'=1) et v = x−2 (v'=1). D'après la formule (u/v)' = (u'v−uv')/v² :
Donc f'(x) = −3 / (x−2)², pour tout x ≠ 2.
Soit f(x) = x² − 3x + 1. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x = 2.
f'(x) = 2x − 3. On calcule f(2) = 4 − 6 + 1 = −1 et f'(2) = 4 − 3 = 1.
La tangente en x=2 a pour équation y = f'(2)(x−2) + f(2) = 1×(x−2) + (−1) = x − 2 − 1.
Soit y = x − 3.
Soit f(x) = |x − 1|, définie sur ℝ.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Le nombre dérivé f'(a) est défini comme :
La dérivée de x⁵ est :
La dérivée de 1/x est :
La dérivée de √x est :
La formule de dérivation d'un produit (uv)' est :
La dérivée d'une fonction constante est :
Si f est dérivable en a, alors :
L'équation de la tangente à la courbe de f en x=a est :
La dérivée de sin x est :
La fonction x ↦ |x| est-elle dérivable en 0 ?
