Ch. 13 Mathématiques · 1ère Industrielle (PF)

Trigonométrie — lignes et formules trigonométriques

Objectif Général 4 — Trigonométrie. Cercle trigonométrique, valeurs remarquables, relations fondamentales, formules d'addition et de duplication.

1. Cercle trigonométrique et lignes trigonométriques

Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, muni d'un sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). À tout réel x, on associe un point M du cercle : cos x est l'abscisse de M et sin x est l'ordonnée de M.

Tangente

Pour x tel que cos x ≠ 0 : tan x = sin x / cos x.

2. Valeurs remarquables

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
sin x	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos x	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan x	0	√3/3	1	√3	non définie

3. Relations fondamentales et angles associés

Relation fondamentale

cos²x + sin²x = 1, pour tout réel x.

Angles associés

cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x
cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x
cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x
cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π/2 − x) = cos x
cos(π/2 + x) = −sin x ; sin(π/2 + x) = cos x

4. Formules d'addition et de duplication

Formules d'addition

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

Formules de duplication

cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
sin(2a) = 2 sin a cos a

Exemple résolu

Calculer cos(75°) = cos(45° + 30°) :

cos(75°) = cos45°cos30° - sin45°sin30° = (\sqrt2/2)(\sqrt3/2) - (\sqrt2/2)(1/2) = (\sqrt6 - \sqrt2)/4

🧠 À retenir absolument

cos²x + sin²x = 1 ; tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0)
cos(−x)=cos x (paire) ; sin(−x)=−sin x (impaire)
cos(a±b) et sin(a±b) : formules d'addition à connaître par cœur
cos(2a) = 1−2sin²a = 2cos²a−1 ; sin(2a) = 2 sin a cos a
Valeurs remarquables en π/6, π/4, π/3, π/2 à mémoriser

Valeurs remarquables

● Facile

Donner les valeurs exactes de sin(π/3), cos(π/4) et tan(π/6).

✅ Correction

D'après le tableau des valeurs remarquables : sin(π/3) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, tan(π/6) = √3/3.

Utiliser la relation fondamentale

● Facile

On sait que sin x = 3/5 avec x ∈ [0 ; π/2]. Calculer cos x puis tan x.

✅ Correction

cos²x = 1 − sin²x = 1 − 9/25 = 16/25, donc cos x = ±4/5. Comme x ∈ [0 ; π/2], cos x ≥ 0, donc cos x = 4/5.

tan x = sin x / cos x = (3/5)/(4/5) = 3/4.

Simplifier avec les angles associés

● Moyen

Simplifier l'expression A = cos(π − x) + sin(π/2 + x).

✅ Correction

cos(π − x) = −cos x et sin(π/2 + x) = cos x.

A = −cos x + cos x = 0, pour tout réel x.

Formule d'addition

● Moyen

Calculer la valeur exacte de cos(75°) en écrivant 75° = 45° + 30°.

✅ Correction

cos(75°) = cos(45°+30°) = cos45°cos30° − sin45°sin30°

= (\sqrt2/2)(\sqrt3/2) - (\sqrt2/2)(1/2) = \sqrt6/4 - \sqrt2/4

Donc cos(75°) = (√6 − √2)/4 (≈ 0,259).

Formule de duplication et angle moitié

● Difficile

On rappelle la formule cos(2a) = 1 − 2sin²a.

Retrouver cette formule à partir de cos(2a) = cos²a − sin²a.
En prenant a = π/8 (donc 2a = π/4), en déduire la valeur exacte de sin(π/8).

✅ Correction

cos(2a) = cos²a − sin²a, et cos²a = 1 − sin²a, donc cos(2a) = (1 − sin²a) − sin²a = 1 − 2sin²a.
Avec a = π/8 : cos(π/4) = 1 − 2sin²(π/8), donc sin²(π/8) = (1 − cos(π/4)) / 2 = (1 − √2/2) / 2 = (2 − √2)/4.
Comme π/8 ∈ [0 ; π/2], sin(π/8) ≥ 0, donc sin(π/8) = √(2 − √2) / 2 (≈ 0,383).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

sin(π/2) est égal à :

Question 2 / 10

cos(π/3) est égal à :

Question 3 / 10

La relation fondamentale de la trigonométrie est :

Question 4 / 10

cos(−x) est égal à :

Question 5 / 10

sin(−x) est égal à :

Question 6 / 10

tan(π/4) est égal à :

Question 7 / 10

cos(a + b) est égal à :

Question 8 / 10

sin(2a) est égal à :

Question 9 / 10

cos(π − x) est égal à :

Question 10 / 10

Si cos x = 1/2 et x ∈ [0 ; π/2], alors sin x vaut :