Objectif Général 4 — Trigonométrie. Résolution des équations cos x = cos a, sin x = sin a, tan x = tan a, et des inéquations trigonométriques simples.
cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, k ∈ ℤ
Résoudre cos x = 1/2 sur [0 ; 2π[. On a a = π/3 (car cos(π/3) = 1/2). Solutions : x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : x = π/3 et x = 2π − π/3 = 5π/3. S = {π/3 ; 5π/3}.
sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ, k ∈ ℤ
Résoudre sin x = √2/2 sur [0 ; 2π[. On a a = π/4. Solutions : x = π/4 + 2kπ ou x = π − π/4 + 2kπ = 3π/4 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : S = {π/4 ; 3π/4}.
tan x = tan a ⟺ x = a + kπ, k ∈ ℤ (pour x tel que cos x ≠ 0).
Résoudre tan x = 1 sur [0 ; 2π[ (x ≠ π/2, x ≠ 3π/2). On a a = π/4. Solutions : x = π/4 + kπ.
Sur [0 ; 2π[ : S = {π/4 ; 5π/4}.
On résout d'abord l'équation associée pour placer les points frontières sur le cercle trigonométrique, puis on détermine graphiquement les arcs qui vérifient l'inégalité.
Résoudre cos x ≥ 1/2 sur [0 ; 2π[. On sait que cos x = 1/2 pour x = π/3 et x = 5π/3. Le cosinus décroît de 1 à −1 entre 0 et π puis croît de −1 à 1 entre π et 2π : il est donc ≥ 1/2 avant π/3 et après 5π/3.
S = [0 ; π/3] ∪ [5π/3 ; 2π[.
Résoudre cos x = 1/2 sur [0 ; 2π[.
cos x = 1/2 = cos(π/3), donc x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : x = π/3, ou x = −π/3 + 2π = 5π/3. S = {π/3 ; 5π/3}.
Résoudre sin x = −1/2 sur [0 ; 2π[.
sin x = −1/2 = sin(−π/6), donc x = −π/6 + 2kπ ou x = π−(−π/6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ.
Sur [0 ; 2π[ : x = −π/6 + 2π = 11π/6, ou x = 7π/6. S = {7π/6 ; 11π/6}.
Résoudre tan x = √3 sur [0 ; 2π[.
tan x = √3 = tan(π/3), donc x = π/3 + kπ.
Sur [0 ; 2π[ : x = π/3 (k=0), x = π/3 + π = 4π/3 (k=1). S = {π/3 ; 4π/3}.
Résoudre l'inéquation sin x ≤ 1/2 sur [0 ; 2π[.
On résout d'abord sin x = 1/2 : x = π/6 ou x = 5π/6. Entre ces deux valeurs (sur [π/6 ; 5π/6]), le sinus dépasse 1/2 ; en dehors, il lui est inférieur ou égal.
S = [0 ; π/6] ∪ [5π/6 ; 2π[.
Résoudre l'équation cos(2x) = cos(x) sur [0 ; 2π[.
cos(2x) = cos(x) ⟺ 2x = x + 2kπ ou 2x = −x + 2kπ.
Cas 1 : 2x = x + 2kπ ⟺ x = 2kπ. Sur [0 ; 2π[ : x = 0.
Cas 2 : 2x = −x + 2kπ ⟺ 3x = 2kπ ⟺ x = 2kπ/3. Sur [0 ; 2π[ (k=0,1,2) : x = 0, x = 2π/3, x = 4π/3.
En réunissant les deux familles (0 est commun) : S = {0 ; 2π/3 ; 4π/3}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Les solutions de cos x = cos a sont :
Les solutions de sin x = sin a sont :
Les solutions de tan x = tan a sont :
cos x = 1/2 sur [0 ; 2π[ a pour solutions :
sin x = √2/2 sur [0 ; 2π[ a pour solutions :
tan x = 1 a pour solutions générales :
L'inéquation cos x ≥ 1/2 sur [0 ; 2π[ a pour ensemble solution :
cos(2x) = cos(x) sur [0 ; 2π[ admet comme solutions :
sin x ≤ 1/2 sur [0 ; 2π[ a pour ensemble solution :
La période de la fonction tangente est :
