Objectif Général 5 — Suites et représentations graphiques. Suites arithmétiques et géométriques, sens de variation, convergence, limite d'une suite.
Une suite numérique (u_n) est une fonction qui, à tout entier naturel n (éventuellement à partir d'un certain rang), associe un réel u_n. Elle peut être définie de façon explicite (u_n en fonction de n) ou par récurrence (u_{n+1} en fonction de u_n, avec un premier terme donné).
(u_n) est croissante si pour tout n, u_{n+1} ≥ u_n ; décroissante si u_{n+1} ≤ u_n. Elle est majorée s'il existe M tel que u_n ≤ M pour tout n ; minorée s'il existe m tel que u_n ≥ m ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
(u_n) est arithmétique de raison r si, pour tout n : u_{n+1} = u_n + r (r constant).
Terme général : u_n = u_0 + n×r. Somme des n premiers termes (de u_0 à u_{n-1}) : S = n × (u_0 + u_{n-1}) / 2 (nombre de termes × moyenne du premier et du dernier).
(u_n) est géométrique de raison q si, pour tout n : u_{n+1} = q × u_n (q constant, q ≠ 0).
Terme général : u_n = u_0 × qⁿ. Somme des n premiers termes (si q ≠ 1) : S = u_0 × (1 − qⁿ) / (1 − q).
Une suite (u_n) est convergente si elle admet une limite finie L quand n tend vers +∞ ; sinon elle est divergente (limite infinie ou pas de limite).
Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (1/2)u_n + 3. On pose v_n = u_n − 6.
(v_n) est donc géométrique de raison 1/2, de premier terme v_0 = u_0 − 6 = −5. Donc v_n = −5×(1/2)ⁿ, d'où u_n = 6 − 5×(1/2)ⁿ. Comme |1/2|<1, (1/2)ⁿ → 0, donc u_n → 6.
(u_n) est arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = 3. Calculer u_10.
u_n = u_0 + n×r, donc u_10 = 5 + 10×3 = 5 + 30 = 35.
(v_n) est géométrique de premier terme v_0 = 2 et de raison q = 3. Calculer v_5.
v_n = v_0 × qⁿ, donc v_5 = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
(u_n) est arithmétique avec u_0 = 1 et r = 2 (suite des nombres impairs). Calculer la somme S des 20 premiers termes (u_0 à u_19).
u_19 = u_0 + 19×r = 1 + 38 = 39. Il y a 20 termes (indices 0 à 19).
S = 400 (c'est la somme des 20 premiers nombres impairs, connue pour valoir 20²).
Calculer S = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2¹⁰ (11 termes, suite géométrique de raison 1/2).
u_0 = 1, q = 1/2, nombre de termes n = 11.
S = 2047/1024 (≈ 1,999).
(u_n) est définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (1/2)u_n + 3. On pose v_n = u_n − 6 pour tout n.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une suite arithmétique de raison r vérifie :
Une suite géométrique de raison q vérifie :
Le terme général d'une suite arithmétique est :
Le terme général d'une suite géométrique est :
Pour une suite arithmétique u_0=2, r=5, la valeur de u_3 est :
Pour une suite géométrique u_0=3, q=2, la valeur de u_4 est :
Si |q| < 1, alors lim (n→+∞) qⁿ vaut :
Si q > 1, alors lim (n→+∞) qⁿ vaut :
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q≠1 est :
Une suite est dite bornée si :
