Objectif Général 5 — Suites et représentations graphiques. Symétries, asymptotes verticales, horizontales et obliques, méthode d'étude complète d'une fonction.
Pour étudier et tracer la courbe représentative d'une fonction f, on procède dans l'ordre : 1) déterminer l'ensemble de définition ; 2) étudier une éventuelle symétrie (parité, périodicité) ; 3) calculer les limites aux bornes du domaine ; 4) calculer la dérivée et étudier son signe pour dresser le tableau de variations ; 5) déterminer les éventuelles asymptotes ; 6) tracer la courbe.
f est paire si son domaine est symétrique par rapport à 0 et si f(−x) = f(x) pour tout x. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
f est impaire si son domaine est symétrique par rapport à 0 et si f(−x) = −f(x) pour tout x. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine O du repère.
f est périodique de période T si f(x + T) = f(x) pour tout x du domaine. On peut alors limiter l'étude à un intervalle de longueur T.
La droite d'équation x = a est asymptote verticale à Cf si lim (x→a) f(x) = ±∞ (à gauche et/ou à droite de a).
La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à Cf en +∞ (ou −∞) si lim (x→±∞) f(x) = b.
La droite d'équation y = ax + b (a ≠ 0) est asymptote oblique à Cf en +∞ (ou −∞) si lim (x→±∞) [f(x) − (ax+b)] = 0.
Le signe de f(x) − (ax+b) donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote : positif ⟹ courbe au-dessus ; négatif ⟹ courbe en dessous.
Soit f(x) = x − 1 + 3/(x − 2), définie sur ℝ \ {2}. En effectuant la division, on écrit f sous la forme x−1 + 3/(x−2).
Comme lim (x→±∞) 3/(x−2) = 0, la droite y = x − 1 est asymptote oblique en +∞ et en −∞.
Comme lim (x→2) 3/(x−2) = ±∞, la droite x = 2 est asymptote verticale.
f(x) − (x−1) = 3/(x−2) : positif pour x > 2 (courbe au-dessus de l'asymptote), négatif pour x < 2 (courbe en dessous).
Étudier la parité des fonctions f(x) = x³ − 2x et g(x) = x² + 1, définies sur ℝ.
f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −f(x). Donc f est impaire (courbe symétrique par rapport à O).
g(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1 = g(x). Donc g est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
Déterminer les asymptotes de f(x) = (3x + 1)/(x − 2).
En divisant numérateur et dénominateur par x : f(x) = (3 + 1/x)/(1 − 2/x). Quand x→±∞, f(x) → 3/1 = 3.
La droite y = 3 est donc asymptote horizontale en +∞ et en −∞.
Comme le dénominateur s'annule en x = 2, la droite x = 2 est asymptote verticale.
Soit f(x) = (2x² − x + 3)/(x − 1), définie sur ℝ \ {1}. Déterminer l'asymptote oblique de f et la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
En effectuant la division euclidienne de 2x²−x+3 par x−1 : 2x²−x+3 = (x−1)(2x+1) + 4.
Comme lim (x→±∞) 4/(x−1) = 0, la droite y = 2x + 1 est asymptote oblique.
f(x) − (2x+1) = 4/(x−1) : positif pour x > 1 (courbe au-dessus de l'asymptote), négatif pour x < 1 (courbe en dessous).
Soit f(x) = x − 1 + 3/(x − 2), définie sur ℝ \ {2}. Calculer les limites de f en 2⁻, 2⁺, −∞ et +∞, puis donner les équations des asymptotes.
Quand x → 2⁻ : x−2 → 0⁻, donc 3/(x−2) → −∞, donc f(x) → −∞.
Quand x → 2⁺ : x−2 → 0⁺, donc 3/(x−2) → +∞, donc f(x) → +∞.
Quand x → ±∞ : 3/(x−2) → 0, donc f(x) − (x−1) → 0, et f(x) → ±∞ respectivement.
Asymptotes : x = 2 (verticale) et y = x − 1 (oblique, en +∞ et en −∞).
On reprend f(x) = x − 1 + 3/(x − 2) sur ℝ \ {2}.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une fonction f est paire si :
Une fonction impaire est symétrique par rapport à :
La droite x = a est asymptote verticale à Cf si :
La droite y = b est asymptote horizontale en +∞ si :
y = ax + b est asymptote oblique en +∞ si :
Pour f(x) = (3x+1)/(x−2), l'asymptote horizontale est :
Pour f(x) = x − 1 + 3/(x−2), l'asymptote oblique est :
Si f(x) − (ax+b) > 0 sur un intervalle, la courbe est :
Une fonction périodique de période T vérifie :
Pour étudier une fonction, la première étape est :
