Objectif Général 6 — Dénombrement et statistique. Principe multiplicatif, factorielle, arrangements et combinaisons.
Si une première étape peut se réaliser de p façons et une seconde de q façons (indépendamment), alors les deux étapes successives se réalisent de p × q façons.
Pour n entier naturel non nul : n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1. Par convention, 0! = 1.
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est un choix ordonné de p éléments distincts pris parmi n, sans répétition. Leur nombre est :
A_n^p = n! / (n−p)! = n×(n−1)×…×(n−p+1)
Une permutation est un arrangement des n éléments pris tous à la fois (p = n) : A_n^n = n!.
Une combinaison de p éléments parmi n est un choix de p éléments distincts parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Leur nombre est :
C_n^p = n! / (p! (n−p)!)
5! = 5×4×3×2×1 = 120.
A_5^2 = 5!/3! = 5×4 = 20 (choix ordonné de 2 éléments parmi 5).
C_5^2 = A_5^2 / 2! = 20/2 = 10 (choix non ordonné de 2 éléments parmi 5).
Calculer 4!, A_6^2 et C_6^2.
4! = 4×3×2×1 = 24.
A_6^2 = 6×5 = 30.
C_6^2 = A_6^2 / 2! = 30/2 = 15.
Un code PIN est composé de 4 chiffres distincts choisis parmi les 10 chiffres 0 à 9. Combien de codes distincts peut-on former ?
L'ordre des chiffres compte (1234 ≠ 4321) et il n'y a pas de répétition : il s'agit d'un arrangement de 4 chiffres parmi 10.
5040 codes possibles.
Une urne contient 12 boules numérotées distinctes. On tire simultanément 3 boules (l'ordre n'a pas d'importance). Combien de tirages différents sont possibles ?
Le tirage est simultané, donc l'ordre ne compte pas : c'est une combinaison de 3 éléments parmi 12.
220 tirages possibles.
Combien de « mots » (suites de lettres, avec ou sans signification) de 5 lettres distinctes peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet ?
L'ordre des lettres compte et elles sont distinctes : c'est un arrangement de 5 lettres parmi 26.
7 893 600 mots possibles.
Une équipe de 15 joueurs doit désigner un comité de 4 personnes : un capitaine, un vice-capitaine (postes distincts) et 2 autres membres (non distingués entre eux). Combien de comités différents peut-on former ?
On procède en trois étapes indépendantes (principe multiplicatif) :
1) Choix du capitaine parmi 15 : 15 façons.
2) Choix du vice-capitaine parmi les 14 restants : 14 façons.
3) Choix des 2 autres membres, non distingués, parmi les 13 restants : C_13^2 = (13×12)/2 = 78 façons.
16 380 comités possibles.
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n! est défini par :
0! est égal à :
La formule de A_n^p est :
La formule de C_n^p est :
Une combinaison, contrairement à un arrangement :
C_n^0 est égal à :
C_n^p est égal à :
5! vaut :
A_5^2 vaut :
C_5^2 vaut :
