Objectif Général 6 — Statistique, dénombrement et intégrales. Effectifs, fréquences, paramètres de position (moyenne, médiane, mode) et de dispersion (variance, écart-type).
La population est l'ensemble étudié ; un caractère (ou variable statistique) est la propriété observée sur chaque individu. L'effectif nᵢ d'une valeur xᵢ est le nombre d'individus qui la possèdent ; N = Σnᵢ est l'effectif total. La fréquence est fᵢ = nᵢ/N. L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur est le nombre d'observations inférieures ou égales à cette valeur.
| Note xᵢ | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif nᵢ | 3 | 5 | 8 | 3 | 1 |
| ECC | 3 | 8 | 16 | 19 | 20 |
| Fréquence | 15% | 25% | 40% | 15% | 5% |
N = 3+5+8+3+1 = 20. Fréquence de 8 : 3/20 = 0,15 = 15%. On vérifie que la somme des fréquences vaut 100%.
Moyenne : x̄ = (Σnᵢxᵢ)/N. Mode : valeur (ou classe) ayant le plus grand effectif. Médiane Me : valeur qui partage la série ordonnée en deux effectifs égaux.
Σnᵢxᵢ = 3×8+5×10+8×12+3×14+1×16 = 24+50+96+42+16 = 228. x̄ = 228/20 = 11,4.
Mode = 12 (effectif maximal, nᵢ=8).
N=20 (pair) : la médiane est la moyenne des 10ᵉ et 11ᵉ valeurs classées. Les positions 9 à 16 correspondent toutes à la note 12 (ECC après 10 est 8, après 12 est 16), donc les 10ᵉ et 11ᵉ valeurs valent toutes deux 12 : Me = 12.
On repère la classe médiane : la première classe dont l'ECC atteint ou dépasse N/2. Puis Me = L + ((N/2 − CF)/f) × h, où L = borne inférieure de la classe médiane, CF = ECC de la classe précédente, f = effectif de la classe médiane, h = amplitude de la classe.
| Classe | [10;20[ | [20;30[ | [30;40[ | [40;50[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 12 | 15 | 8 |
| ECC | 5 | 17 | 32 | 40 |
Moyenne (centres 15,25,35,45) : (5×15+12×25+15×35+8×45)/40 = (75+300+525+360)/40 = 1260/40 = 31,5.
N/2 = 20. La classe médiane est [30;40[ (ECC passe de 17 à 32, en dépassant 20). Me = 30 + ((20−17)/15)×10 = 30+2 = 32.
Étendue = valeur max − valeur min. Variance (formule de König-Huygens) : V = (Σnᵢxᵢ²)/N − x̄². Écart-type : σ = √V.
Étendue = 16−8 = 8.
Σnᵢxᵢ² = 3×64+5×100+8×144+3×196+1×256 = 192+500+1152+588+256 = 2688.
V = 2688/20 − 11,4² = 134,4 − 129,96 = 4,44. σ = √4,44 ≈ 2,11.
Un écart-type faible indique une série homogène, resserrée autour de la moyenne. Un écart-type élevé traduit une série dispersée. La comparaison de deux écarts-types permet de juger laquelle des deux séries est la plus régulière.
Cinq élèves ont obtenu les notes : 12, 14, 9, 17, 13. Calculer la moyenne.
x̄ = (12+14+9+17+13)/5 = 65/5 = 13.
xᵢ : 5, 7, 9 avec nᵢ : 4, 6, 10. Calculer la moyenne.
N = 4+6+10 = 20. Σnᵢxᵢ = 4×5+6×7+10×9 = 20+42+90 = 152. x̄ = 152/20 = 7,6.
Avec la même série (xᵢ : 5, 7, 9 ; nᵢ : 4, 6, 10), déterminer la médiane.
N = 20 (pair) : la médiane est la moyenne des 10ᵉ et 11ᵉ valeurs. Positions 1 à 4 → valeur 5 ; positions 5 à 10 → valeur 7 ; positions 11 à 20 → valeur 9.
La 10ᵉ valeur = 7, la 11ᵉ valeur = 9. Me = (7+9)/2 = 8.
Avec la série 12, 14, 9, 17, 13 (moyenne = 13, cf. exercice 1), calculer la variance puis l'écart-type.
Écarts à la moyenne : −1, 1, −4, 4, 0. Carrés : 1, 1, 16, 16, 0. Somme = 34.
V = 34/5 = 6,8. σ = √6,8 ≈ 2,61.
Une série statistique groupée en classes est donnée par :
| Classe | [0;10[ | [10;20[ | [20;30[ | [30;40[ |
| Effectif | 6 | 14 | 20 | 10 |
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur correspond au nombre d'observations :
Dans la série support (xᵢ=8, nᵢ=3, N=20), la fréquence de la valeur 8 est :
Pour la série support (notes 8,10,12,14,16 d'effectifs 3,5,8,3,1), la moyenne vaut :
Pour la même série, le mode vaut :
Pour la même série, la médiane vaut :
La formule de König-Huygens pour la variance est :
L'écart-type est égal à :
Pour une série groupée en classes, la classe médiane est choisie lorsque l'ECC :
La formule d'interpolation de la médiane pour une série groupée est :
Pour la série groupée du résumé (poids de 40 pièces, classes de 10 à 50 kg), la moyenne calculée vaut :
