Ch. 03 Mathématiques · 1ère Commerciale (PG1/PH1)

Généralités sur les fonctions numériques

Objectif Général 2 — Analyse. Vocabulaire des fonctions, ensemble de définition, sens de variation, fonctions paires et impaires.

1. Définition et vocabulaire

Définitions

Une fonction numérique f est un procédé qui, à chaque nombre réel x d'un ensemble D (son ensemble de définition), associe au plus un nombre réel noté f(x). On note :

f : D → R, x ↦ f(x)

f(x) est appelé l'image de x par f. Si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y par f.

Exemple résolu

Soit f(x) = 2x − 3.

f(0) = −3, f(2) = 1, f(−1) = −5 : ce sont les images de 0, 2 et −1.

Chercher l'antécédent de 7 : on résout f(x) = 7, soit 2x − 3 = 7, donc 2x = 10, soit x = 5. 5 est l'antécédent de 7.

2. Ensemble de définition

Définition

L'ensemble de définition Df d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe (a un sens).

Règles usuelles

• Pour une expression du type 1/g(x) : il faut g(x) ≠ 0.

• Pour une expression du type √g(x) : il faut g(x) ≥ 0.

Exemples résolus

f(x) = (2x+1)/(x−3) : il faut x − 3 ≠ 0, donc Df = R \ {3}.

g(x) = √(x−2) : il faut x − 2 ≥ 0, c'est-à-dire x ≥ 2, donc Dg = [2 ; +∞[.

h(x) = 1/(x²−4) : il faut x² − 4 ≠ 0, soit x ≠ 2 et x ≠ −2 (car x²−4=0 ⟺ x=2 ou x=−2), donc Dh = R \ {−2 ; 2}.

3. Sens de variation d'une fonction

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est :

croissante sur I si pour tous a, b de I, a < b entraîne f(a) < f(b) ;
décroissante sur I si pour tous a, b de I, a < b entraîne f(a) > f(b) ;
constante sur I si f(a) = f(b) pour tous a, b de I.

Exemples résolus

f(x) = x² : sur ]−∞ ; 0], f est décroissante (ex : f(−3)=9 > f(−1)=1, alors que −3<−1). Sur [0 ; +∞[, f est croissante (ex : f(1)=1 < f(3)=9).

Démonstration algébrique pour f(x) = −2x + 5 sur R : soient a < b deux réels quelconques.

f(a) - f(b) = (-2a+5) - (-2b+5) = -2a + 2b = 2(b - a)

Comme a < b, on a b − a > 0, donc f(a) − f(b) > 0, c'est-à-dire f(a) > f(b) : f est décroissante sur R.

4. Fonctions paires et impaires

Définitions

Une fonction f, définie sur un ensemble D symétrique par rapport à 0, est dite :

paire si, pour tout x de D, f(−x) = f(x) ;
impaire si, pour tout x de D, f(−x) = −f(x).

Exemples résolus

f(x) = x² : f(−x) = (−x)² = x² = f(x), donc f est paire.

g(x) = x³ : g(−x) = (−x)³ = −x³ = −g(x), donc g est impaire.

h(x) = x² + x : h(−x) = x² − x. Or h(−x) ≠ h(x) et h(−x) ≠ −h(x) (car −h(x) = −x²−x), donc h n'est ni paire ni impaire.

🧠 À retenir absolument

f(x) = image de x ; si f(x) = y, x est un antécédent de y
Ensemble de définition : dénominateur ≠ 0 ; expression sous racine ≥ 0
Croissante : a<b ⟹ f(a)<f(b) ; décroissante : a<b ⟹ f(a)>f(b)
f paire ⟺ f(−x)=f(x) (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées)
f impaire ⟺ f(−x)=−f(x) (courbe symétrique par rapport à l'origine)

Images et antécédents

● Facile

Soit f(x) = 2x − 3.

Calculer f(0), f(2) et f(−1).
Déterminer l'antécédent de 7 par f.

✅ Correction

f(0) = 2×0−3 = −3 ; f(2) = 2×2−3 = 1 ; f(−1) = 2×(−1)−3 = −5.
On résout f(x)=7 : 2x−3=7 ⟺ 2x=10 ⟺ x=5. L'antécédent de 7 est 5.

Déterminer un ensemble de définition

● Facile

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

f(x) = 3/(x+5)
g(x) = √(2x−6)
h(x) = 1/(x²−1)

✅ Correction

Il faut x+5≠0, soit x≠−5 : Df = R \ {−5}.
Il faut 2x−6≥0, soit x≥3 : Dg = [3 ; +∞[.
Il faut x²−1≠0, soit x≠1 et x≠−1 (car x²−1=0 ⟺ x=1 ou x=−1) : Dh = R \ {−1 ; 1}.

Démontrer un sens de variation

● Moyen

Soit f(x) = −2x + 5, définie sur R. Démontrer, en utilisant la définition, que f est décroissante sur R.

✅ Correction

Soient a et b deux réels quelconques tels que a < b. Calculons f(a) − f(b) :

f(a) - f(b) = (-2a + 5) - (-2b + 5) = -2a + 2b = 2(b - a)

Comme a < b, on a b − a > 0, donc 2(b − a) > 0, c'est-à-dire f(a) − f(b) > 0, soit f(a) > f(b).

Donc pour tous a < b, f(a) > f(b) : par définition, f est décroissante sur R.

Étudier la parité

● Moyen

Étudier la parité des fonctions suivantes, définies sur R :

f(x) = 3x² − 2
g(x) = 5x³ − x
h(x) = x² + 3x

✅ Correction

f(−x) = 3(−x)² − 2 = 3x² − 2 = f(x) : f est paire.
g(−x) = 5(−x)³ − (−x) = −5x³ + x = −(5x³ − x) = −g(x) : g est impaire.
h(−x) = (−x)² + 3(−x) = x² − 3x. Or h(−x) ≠ h(x) (x²−3x ≠ x²+3x, sauf si x=0) et h(−x) ≠ −h(x) (−h(x) = −x²−3x). Donc h n'est ni paire ni impaire.

Problème de synthèse : domaine et étude de valeurs

● Difficile

On considère la fonction coût moyen définie par f(x) = 100/x + 2x, où x > 0 représente le nombre d'unités produites.

Déterminer l'ensemble de définition Df.
Calculer f(1), f(5), f(10) et f(20).
Que remarque-t-on pour f(5) et f(10) ? Calculer également f(7) et comparer à f(5) et f(10). Que peut-on en déduire sur le sens de variation de f entre x=5 et x=10 ?

✅ Correction

La fonction f est définie tant que x ≠ 0. Le contexte impose x > 0 (nombre d'unités), donc Df = ]0 ; +∞[.
f(1) = 100/1 + 2×1 = 100+2 = 102. f(5) = 100/5 + 2×5 = 20+10 = 30. f(10) = 100/10 + 2×10 = 10+20 = 30. f(20) = 100/20 + 2×20 = 5+40 = 45.
On remarque que f(5) = f(10) = 30 : deux valeurs distinctes de x donnent la même image. Calculons f(7) = 100/7 + 2×7 ≈ 14,29 + 14 = 28,29. Comme f(7) < f(5) et f(7) < f(10), la fonction diminue puis remonte entre x=5 et x=10 : elle n'est donc pas monotone sur cet intervalle (elle n'est ni croissante, ni décroissante sur tout [5;10]).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

L'ensemble de définition de f(x) = 5/(x−2) est :

Question 2 / 10

L'ensemble de définition de f(x) = √(x−3) est :

Question 3 / 10

Si f(2) = 7, alors 7 est :

Question 4 / 10

Soit f(x) = 2x − 3. L'antécédent de 7 par f est :

Question 5 / 10

La fonction f(x) = x² est :

Question 6 / 10

La fonction g(x) = x³ est :

Question 7 / 10

Une fonction est croissante sur un intervalle I si :

Question 8 / 10

L'ensemble de définition de f(x) = 1/(x²−4) est :

Question 9 / 10

La fonction f(x) = −2x + 5 sur R est :

Question 10 / 10

La fonction h(x) = x² + 3x est :