Objectif Général 2 — Analyse. Courbe représentative, tableau de variation, fonctions de référence et symétries liées à la parité.
Dans un repère (O, I, J), la courbe représentative d'une fonction f, notée Cf, est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)) pour x décrivant l'ensemble de définition Df.
• Pour lire l'image de a : on se place sur l'axe des abscisses en x=a, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point obtenu.
• Pour lire un antécédent de b : on se place sur l'axe des ordonnées en y=b, on avance jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse du (ou des) point(s) obtenu(s).
Le tableau de variation résume, sous forme de flèches, le sens de variation d'une fonction sur les intervalles de son ensemble de définition : une flèche ↗ indique que f est croissante, une flèche ↘ indique que f est décroissante.
Soit f une fonction définie sur [−3 ; 5] avec le tableau de variation suivant :
| x | −3 | ↘ | 1 | ↗ | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 2 | ↘ | −4 | ↗ | 6 |
On lit : f est décroissante sur [−3 ; 1] puis croissante sur [1 ; 5]. Le minimum de f sur [−3;5] est −4, atteint en x=1. On a aussi f(−3)=2 et f(5)=6.
Sa courbe représentative est une droite. Si a > 0, f est croissante sur R ; si a < 0, f est décroissante sur R ; si a = 0, f est constante.
Sa courbe est une parabole tournée vers le haut, de sommet (0;0). f est décroissante sur ]−∞;0] et croissante sur [0;+∞[. Elle admet un minimum égal à 0, atteint en x=0.
Définie sur R* = R\{0}, sa courbe est une hyperbole à deux branches. f est décroissante sur ]−∞;0[ et décroissante sur ]0;+∞[ (attention : elle n'est pas décroissante « globalement » sur R*, car elle change de branche en 0 où elle n'est pas définie).
• Si f est paire, sa courbe Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe (OJ)).
• Si f est impaire, sa courbe Cf est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
f(x) = x² est paire : sa parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
f(x) = 1/x est impaire : son hyperbole est symétrique par rapport à l'origine (les deux branches se correspondent par symétrie centrale).
Conséquence pratique : pour une fonction paire (ou impaire), il suffit d'étudier ses variations sur la partie positive de son domaine, puis de compléter la courbe par symétrie.
Dresser le tableau de variation de la fonction affine f(x) = −3x + 2 sur R. Préciser la nature de sa courbe représentative.
f est une fonction affine de coefficient a = −3 < 0 : elle est donc décroissante sur R.
| x | −∞ | ↘ | +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) | +∞ | ↘ | −∞ |
Sa courbe représentative est une droite de pente négative.
Soit g une fonction définie sur [−2 ; 4] dont le tableau de variation est le suivant :
| x | −2 | ↗ | 1 | ↘ | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | −3 | ↗ | 5 | ↘ | 0 |
Soit f(x) = (x − 2)² + 1, définie sur R. En utilisant les propriétés de la fonction carré, déterminer le sens de variation de f et son minimum.
f(x) = (x−2)² + 1 s'obtient à partir de la fonction carré x ↦ x² en décalant la courbe de 2 vers la droite puis de 1 vers le haut.
Comme (x−2)² ≥ 0 pour tout x, avec égalité seulement quand x−2=0, c'est-à-dire x=2, la quantité (x−2)² est minimale (égale à 0) en x=2. Donc f(x) = (x−2)²+1 est minimale en x=2, avec f(2) = 0+1 = 1.
Par le même raisonnement que pour x², f est décroissante sur ]−∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[. Son minimum est 1, atteint en x = 2.
Soit f(x) = 3/x, définie sur R*. Étudier le signe de f(x) et son sens de variation sur ]0;+∞[.
Signe : 3 > 0, donc le signe de f(x) = 3/x est celui de x : f(x) > 0 si x > 0, et f(x) < 0 si x < 0.
Variation sur ]0;+∞[ : soient 0 < a < b. On a f(a) − f(b) = 3/a − 3/b = 3(b−a)/(ab). Comme a, b et (b−a) sont strictement positifs, ab > 0 également : f(a) − f(b) > 0, donc f(a) > f(b).
f est donc décroissante sur ]0;+∞[ (comme la fonction inverse elle-même). Sa courbe admet les droites d'équations x=0 et y=0 comme asymptotes.
Soit f une fonction paire, définie sur [−5 ; 5]. Sur [0 ; 5], son tableau de variation est le suivant :
| x | 0 | ↘ | 2 | ↗ | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | ↘ | −1 | ↗ | 8 |
| x | −5 | ↘ | −2 | ↗ | 0 | ↘ | 2 | ↗ | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 8 | ↘ | −1 | ↗ | 4 | ↘ | −1 | ↗ | 8 |
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est :
Si a > 0 pour f(x) = ax + b, la fonction est :
La courbe représentative de f(x) = x² est appelée :
Le sommet de la parabole représentant f(x) = x² est situé en :
La courbe de la fonction inverse f(x) = 1/x est appelée :
Si une fonction f est paire, sa courbe est symétrique par rapport :
Si une fonction f est impaire, sa courbe est symétrique par rapport :
Sur un tableau de variation, une flèche descendante (↘) signifie que la fonction est :
La fonction f(x) = (x−2)² + 1 admet un minimum égal à :
La fonction f(x) = 3/x sur ]0 ; +∞[ est :
