Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Définition, propriétés, équations et inéquations avec valeur absolue.
Pour tout réel x, la valeur absolue de x, notée |x|, est définie par :
|x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0
Interprétation géométrique : sur une droite graduée, |x| représente la distance du point d'abscisse x à l'origine O. Plus généralement, la distance entre deux réels a et b est d(a,b) = |a − b|.
|5| = 5 (car 5 ≥ 0) · |−3| = −(−3) = 3 (car −3 < 0) · |0| = 0 · |−7| = 7
Distance entre −4 et 9 : d(−4,9) = |9 − (−4)| = |13| = 13.
• |x| ≥ 0 pour tout x, et |x| = 0 ⟺ x = 0
• |−x| = |x|
• |x × y| = |x| × |y|
• |x / y| = |x| / |y| (y ≠ 0)
• √(x²) = |x|
• Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y|
• |x| ≤ a ⟺ −a ≤ x ≤ a
• |x| ≥ a ⟺ x ≤ −a ou x ≥ a
• |x| = |y| ⟺ x = y ou x = −y
√((−4)²) = √16 = 4 = |−4|. On vérifie bien que √(x²) donne toujours un résultat positif, égal à |x|, et non x lui-même.
• |x − a| = r ⟺ x = a − r ou x = a + r
• |x − a| < r ⟺ a − r < x < a + r
• |x − a| > r ⟺ x < a − r ou x > a + r
|x − 3| = 5 ⟺ x = 3 − 5 = −2 ou x = 3 + 5 = 8. Vérification : |8−3|=5 ✓ et |−2−3|=|−5|=5 ✓.
|x − 1| < 3 ⟺ −3 < x − 1 < 3 ⟺ −2 < x < 4. Solution : S = ]−2 ; 4[.
|x + 2| ≥ 4 ⟺ x + 2 ≤ −4 ou x + 2 ≥ 4 ⟺ x ≤ −6 ou x ≥ 2. Solution : S = ]−∞ ; −6] ∪ [2 ; +∞[.
Calculer :
Résoudre dans ℝ :
Résoudre dans ℝ :
Démontrer que pour tous réels x et y : |x − y| ≥ |x| − |y|.
On écrit x = (x − y) + y. D'après l'inégalité triangulaire appliquée aux réels (x−y) et y :
En soustrayant |y| des deux côtés de cette inégalité, on obtient directement :
ce qui est exactement l'inégalité demandée.
Résoudre dans ℝ l'équation |x − 1| + |x + 2| = 5 en étudiant trois cas : x < −2, −2 ≤ x < 1, x ≥ 1.
Cas 1 : x < −2. Alors x−1<0 et x+2<0, donc |x−1|=1−x et |x+2|=−x−2.
−3 < −2 : solution valable. Vérification : |−3−1|+|−3+2| = 4+1 = 5 ✓
Cas 2 : −2 ≤ x < 1. Alors |x−1| = 1−x et |x+2| = x+2, donc la somme vaut (1−x)+(x+2) = 3, constante. Comme 3 ≠ 5, aucune solution dans cet intervalle.
Cas 3 : x ≥ 1. Alors |x−1| = x−1 et |x+2| = x+2.
2 ≥ 1 : solution valable. Vérification : |2−1|+|2+2| = 1+4 = 5 ✓
Conclusion : S = {−3 ; 2}
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
|−9| = ?
|5 − 8| = ?
Pour tout réel x, √(x²) est égal à :
|x| ≤ 4 équivaut à :
|x| ≥ 3 équivaut à :
Résoudre |x − 2| = 5 donne :
La distance entre −6 et 4 est :
L'inéquation |2x − 3| < 5 équivaut à :
Les solutions de |x + 1| > 3 sont :
Pour tous réels x et y, on a toujours :
