Ch. 04 Mathématiques · 2nde Commerciale (SBG)

Calculs sur les nombres rationnels, les puissances et les radicaux

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Opérations sur les fractions, puissances entières, racines n-ièmes.

1. Opérations sur les nombres rationnels

Règles de calcul sur les fractions

• Addition/soustraction (même dénominateur) : a/c + b/c = (a+b)/c

• Pour des dénominateurs différents, on réduit au même dénominateur avant d'ajouter

• Multiplication : (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)

• Division : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d)/(b×c)

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun autre que 1 (on simplifie en divisant par leur PGCD).

Exemples résolus

2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2 (après simplification par 3)

3/4 × 8/9 = 24/36 = 2/3 (simplification par 12)

(5/7) ÷ (10/21) = 5/7 × 21/10 = 105/70 = 3/2 (simplification par 35)

2. Puissances entières

Définitions

Pour a réel non nul et n entier naturel : aⁿ = a×a×⋯×a (n facteurs), a⁰ = 1, et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Règles de calcul (a, b ≠ 0 ; m, n ∈ ℤ)

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

• aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

• (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ

• (a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

• (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Exemples résolus

2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128

(3²)³ = 3⁶ = 729

5⁻² = 1/5² = 1/25

(2×3)² = 6² = 36, et on vérifie 2²×3² = 4×9 = 36 ✓

3. Radicaux (racines carrées)

Définition

Pour a ≥ 0, √a est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut a : (√a)² = a.

Propriétés (a, b ≥ 0, sauf division où b > 0)

• √(a×b) = √a × √b

• √(a/b) = √a / √b

• √(a²) = |a|

• Pour rationaliser un dénominateur : 1/√a = √a / a

Exemples résolus

√50 = √(25×2) = 5√2 · √12 = √(4×3) = 2√3

3/√2 = (3×√2)/(√2×√2) = 3√2/2

√8 × √2 = √16 = 4

🧠 À retenir absolument

Pour ajouter des fractions : même dénominateur d'abord ; pour diviser : multiplier par l'inverse
aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ ; a⁻ⁿ=1/aⁿ ; a⁰=1 (a≠0)
√(ab)=√a×√b et √(a/b)=√a/√b, mais attention : √(a+b) ≠ √a+√b en général
√(a²)=|a|, pas a directement
Pour rationaliser 1/√a, on multiplie numérateur et dénominateur par √a

Opérations sur les fractions

● Facile

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

2/5 + 3/10
3/4 − 1/6
2/3 × 9/4

✅ Correction

2/5 = 4/10, donc 4/10 + 3/10 = 7/10
3/4 = 9/12 et 1/6 = 2/12, donc 9/12 − 2/12 = 7/12
2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2

Calculs de puissances

● Facile

Calculer :

3⁴
2⁻³
(5²)⁰
10³ × 10⁻⁵

✅ Correction

3⁴ = 3×3×3×3 = 81
2⁻³ = 1/2³ = 1/8
(5²)⁰ = 1 (tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1)
10³×10⁻⁵ = 10⁻² = 0,01

Simplifier des radicaux

● Moyen

Écrire sous la forme a√b avec b le plus petit possible :

√75
√32
√20 + √45

✅ Correction

√75 = √(25×3) = 5√3
√32 = √(16×2) = 4√2
√20 = √(4×5) = 2√5 et √45 = √(9×5) = 3√5, donc √20+√45 = 2√5+3√5 = 5√5

Rationaliser un dénominateur

● Moyen

Rationaliser puis simplifier :

5/√3
2/(3√2)
(√5 − 1)(√5 + 1)

✅ Correction

5/√3 = (5×√3)/(√3×√3) = 5√3/3
2/(3√2) = (2×√2)/(3×2) = 2√2/6 = √2/3
(√5−1)(√5+1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4 (identité remarquable a²−b²)

Synthèse : simplification d'expressions

● Difficile

Simplifier les expressions suivantes :

A = (√3 + 1)² − (√3 − 1)²
B = √48 − 3√12 + 2√75

✅ Correction

Pour A : on développe chaque carré séparément.

(\sqrt3+1)² = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3 (\sqrt3-1)² = 3 - 2\sqrt3 + 1 = 4 - 2\sqrt3 A = (4+2\sqrt3) - (4-2\sqrt3) = 4\sqrt3

Pour B : on simplifie chaque radical.

\sqrt48 = \sqrt(16\times3) = 4\sqrt3 \sqrt12 = \sqrt(4\times3) = 2\sqrt3 \sqrt75 = \sqrt(25\times3) = 5\sqrt3 B = 4\sqrt3 - 3\times2\sqrt3 + 2\times5\sqrt3 = 4\sqrt3 - 6\sqrt3 + 10\sqrt3 = 8\sqrt3

Résultats : A = 4√3 et B = 8√3.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

2/3 + 1/6 = ?

Question 2 / 10

3/5 × 10/9 = ?

Question 3 / 10

2⁵ = ?

Question 4 / 10

4⁻¹ = ?

Question 5 / 10

(2³)² = ?

Question 6 / 10

√36 = ?

Question 7 / 10

√8 s'écrit aussi :

Question 8 / 10

√2 × √8 = ?

Question 9 / 10

La forme rationalisée de 1/√5 est :

Question 10 / 10

Pour tout réel a, √(a²) est égal à :