Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Comparaison des nombres réels, valeurs approchées et encadrements.
• Par différence : a < b ⟺ b − a > 0
• Pour deux fractions positives a/b et c/d (b,d>0), comparer revient à comparer les produits en croix : a/b < c/d ⟺ a×d < c×b
• Compatibilité avec les opérations : a<b ⟹ a+c<b+c pour tout c ; si k>0, a<b ⟹ ka<kb ; si k<0, a<b ⟹ ka>kb (l'ordre s'inverse en multipliant par un négatif).
Comparer 5/7 et 7/9 : produits en croix 5×9 = 45 et 7×7 = 49. Comme 45 < 49, on a 5/7 < 7/9.
Une valeur approchée par défaut à 10⁻ⁿ près d'un réel x est le plus grand décimal à n chiffres après la virgule inférieur ou égal à x. La valeur approchée par excès est le plus petit décimal à n chiffres après la virgule supérieur ou égal à x.
L'arrondi à 10⁻ⁿ près est la valeur approchée (par défaut ou excès) la plus proche de x.
À 10⁻² près : valeur approchée par défaut = 3,14 ; par excès = 3,15.
Arrondi à 10⁻² près : on regarde le 3ᵉ chiffre après la virgule (ici 1, qui est < 5), donc on arrondit à 3,14.
Encadrer un réel x, c'est trouver a et b tels que a ≤ x ≤ b. La précision de l'encadrement est b − a.
Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d :
• Somme : a + c ≤ x + y ≤ b + d
• Produit, si a,b,c,d ≥ 0 : a×c ≤ x×y ≤ b×d
Sachant que 1,4 ≤ √2 ≤ 1,5 et 1,7 ≤ √3 ≤ 1,8 :
Somme : 3,1 ≤ √2+√3 ≤ 3,3
Produit : 1,4×1,7 = 2,38 ≤ √2×√3 ≤ 1,5×1,8 = 2,7 (on vérifie : √6 ≈ 2,449, bien compris dans [2,38 ; 2,7])
Comparer, en justifiant :
Pour x = 7/3 = 2,333… : donner la valeur approchée par défaut, par excès, puis l'arrondi, à 10⁻¹ près.
Par défaut à 10⁻¹ près : 2,3. Par excès : 2,4. Le 2ᵉ chiffre après la virgule est 3 (<5), donc l'arrondi est 2,3.
On donne e ≈ 2,718281828… Donner un encadrement de e à 10⁻³ près.
Les 3 premières décimales de e sont 718, la suite commence par 2 donc on tronque : 2,718 ≤ e ≤ 2,719
On sait que 3,14 < π < 3,15 et 1,41 < √2 < 1,42. Donner un encadrement de π+√2 puis de π×√2.
Somme : 3,14+1,41=4,55 et 3,15+1,42=4,57, donc 4,55 < π+√2 < 4,57
Produit (tous les termes sont positifs) : 3,14×1,41=4,4274 et 3,15×1,42=4,473, donc 4,4274 < π×√2 < 4,473 (on vérifie : π√2 ≈ 4,4429, bien dans l'intervalle).
On donne l'encadrement 2,236 < √5 < 2,237. On pose A = (√5 − 1) / 2 (nombre d'or moins 1).
On part de 2,236 < √5 < 2,237. On soustrait 1 (l'ordre est conservé par une même translation) :
On divise par 2 (nombre positif, l'ordre est conservé) :
La valeur approchée de A à 10⁻³ près par défaut est donc 0,618 (on vérifie : A ≈ (2,2360679…−1)/2 ≈ 0,618034…, bien dans l'intervalle trouvé).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Lequel est le plus grand : 4/7 ou 5/9 ?
La valeur approchée par défaut de 5/3 = 1,666… à 10⁻¹ près est :
L'arrondi de 4,567 à 10⁻¹ près est :
Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, alors x+y vérifie :
Sachant que 1,7 < √3 < 1,8, un encadrement de 2√3 est :
Comparer −3/4 et −2/3 :
Une valeur approchée par excès est toujours :
L'encadrement 3,14159 < π < 3,14160 correspond à une précision de l'ordre de :
Si 2 ≤ x ≤ 3, alors −x vérifie :
La règle du produit d'encadrements ac ≤ xy ≤ bd s'applique :
