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Ch. 06 Mathématiques · 2nde Commerciale (SBG)

Expressions algébriques

Objectif Général 1 — Nombres réels et calculs. Développement, factorisation, identités remarquables.

1. Développer une expression

Règles de distributivité

• Distributivité simple : k(a+b) = ka + kb

• Double distributivité : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Exemples

3(2x−5) = 6x−15

(x+2)(x−3) = x²−3x+2x−6 = x²−x−6

2. Identités remarquables

Les trois identités à connaître par cœur

• (a+b)² = a² + 2ab + b²

• (a−b)² = a² − 2ab + b²

• (a+b)(a−b) = a² − b²

Exemples

(x+3)² = x²+6x+9

(2x−1)² = 4x²−4x+1

(x+5)(x−5) = x²−25

3. Factoriser une expression

Méthodes de factorisation

• Facteur commun : ka + kb = k(a+b)

• Reconnaître une identité remarquable à l'envers (voir ci-dessus)

Factoriser transforme une somme (ou différence) de termes en un produit de facteurs. C'est essentiel pour résoudre des équations produit-nul.

Exemples

6x+9 = 3(2x+3)  (facteur commun 3)

x²−16 = (x−4)(x+4)  (différence de carrés)

9x²−6x+1 = (3x−1)²  (on vérifie : (3x−1)²=9x²−6x+1 ✓)

🧠 À retenir absolument

  • (a+b)²=a²+2ab+b² ; (a−b)²=a²−2ab+b² ; (a+b)(a−b)=a²−b²
  • Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit
  • Toujours chercher d'abord un facteur commun avant d'utiliser une identité remarquable
  • Une équation produit-nul A×B=0 se résout en posant A=0 ou B=0
  • Toujours vérifier une factorisation en redéveloppant le résultat
1

Développer

● Facile

Développer et réduire :

  1. 5(3x−2)
  2. (x+4)(x+1)
  3. −2(x−7)
✅ Correction
  1. 5(3x−2) = 15x−10
  2. (x+4)(x+1) = x²+x+4x+4 = x²+5x+4
  3. −2(x−7) = −2x+14
2

Identités remarquables

● Facile

Développer à l'aide des identités remarquables :

  1. (x+6)²
  2. (3x−2)²
  3. (5+x)(5−x)
✅ Correction
  1. (x+6)² = x²+12x+36
  2. (3x−2)² = 9x²−12x+4
  3. (5+x)(5−x) = 25−x²
3

Factoriser

● Moyen

Factoriser :

  1. 4x+12
  2. x²−9
  3. x²−10x+25
✅ Correction
  1. 4x+12 = 4(x+3)
  2. x²−9 = (x−3)(x+3) (différence de carrés)
  3. x²−10x+25 = (x−5)² (on vérifie : (x−5)²=x²−10x+25 ✓)
4

Factoriser puis résoudre

● Moyen

Résoudre dans ℝ après avoir factorisé :

  1. x²−6x+9 = 0
  2. 4x²−25 = 0
✅ Correction
  1. x²−6x+9 = (x−3)². L'équation devient (x−3)²=0 ⟺ x−3=0 ⟺ x=3 (racine double).
  2. 4x²−25 = (2x−5)(2x+5). L'équation produit-nul donne 2x−5=0 ou 2x+5=0, soit x=5/2 ou x=−5/2.
5

Synthèse : factoriser par un facteur commun composé

● Difficile

On considère E = (2x−1)² − (x+3)(2x−1).

  1. Factoriser E en mettant en évidence le facteur commun (2x−1).
  2. Développer E pour vérifier le résultat.
  3. Résoudre E = 0.
✅ Correction

1. Le facteur (2x−1) apparaît dans les deux termes :

E = (2x−1)[(2x−1) − (x+3)] = (2x−1)(2x−1−x−3) = (2x−1)(x−4)

2. Vérification par développement :

(2x−1)² = 4x²−4x+1 (x+3)(2x−1) = 2x²−x+6x−3 = 2x²+5x−3 E = (4x²−4x+1) − (2x²+5x−3) = 2x²−9x+4

Et en développant la forme factorisée : (2x−1)(x−4) = 2x²−8x−x+4 = 2x²−9x+4. Les deux résultats coïncident ✓.

3. E=0 ⟺ (2x−1)(x−4)=0 ⟺ 2x−1=0 ou x−4=0 ⟺ x=1/2 ou x=4.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Question 1 / 10

(x+7)(x−7) = ?

Question 2 / 10

(x−3)² = ?

Question 3 / 10

La forme factorisée de x²+10x+25 est :

Question 4 / 10

7x+21 se factorise en :

Question 5 / 10

(2x+3)(2x−3) = ?

Question 6 / 10

Développer 3(x−5)(x+2) donne :

Question 7 / 10

x²−49 se factorise en :

Question 8 / 10

L'identité a²−2ab+b² correspond à :

Question 9 / 10

Résoudre (x−2)² = 0 donne :

Question 10 / 10

La forme factorisée de 9x²−1 est :