Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Calculs vectoriels, bases et repérage dans le plan.
À deux points A et B, on associe le vecteur AB, caractérisé par sa direction (droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa norme (longueur AB, notée ||AB||).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme (cela équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme lorsque AB=CD).
Pour tous points A, B, C : AB + BC = AC
Le vecteur nul est noté 0 (norme 0). L'opposé d'un vecteur u, noté −u, a la même norme et la même direction mais un sens opposé.
Pour A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) : AB(x_B−x_A ; y_B−y_A)
Somme : u(x,y) + v(x′,y′) = (x+x′ ; y+y′)
Multiplication par un réel k : k·u(x,y) = (kx ; ky)
Norme : ||u|| = √(x² + y²)
A(1,2), B(4,6) : AB(4−1 ; 6−2) = (3 ; 4). ||AB|| = √(9+16) = √25 = 5.
Deux vecteurs u(x,y) et v(x′,y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − x′y = 0 (déterminant nul).
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées I( (x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2 ).
Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan : tout vecteur du plan s'écrit alors de manière unique comme combinaison de ces deux vecteurs.
u(2,3), v(4,6) : déterminant = 2×6−4×3 = 12−12 = 0 → colinéaires (v = 2u).
u(2,3), w(1,5) : déterminant = 2×5−1×3 = 10−3 = 7 ≠ 0 → non colinéaires, ils forment une base.
A(2,−1), B(5,3). Calculer les coordonnées de AB puis ||AB||.
AB(5−2 ; 3−(−1)) = (3 ; 4). ||AB|| = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
u(3,−2), v(−1,4). Calculer u+v et 2u−v.
u+v = (3+(−1) ; −2+4) = (2 ; 2).
2u = (6,−4). 2u−v = (6−(−1) ; −4−4) = (7 ; −8).
A(−1,2), B(3,5), C(1,−4). Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme (AB = DC).
AB = (3−(−1) ; 5−2) = (4 ; 3). On cherche D(x,y) tel que DC = AB, soit (1−x ; −4−y) = (4 ; 3).
D(−3 ; −7). Vérification par les milieux des diagonales : milieu de [AC] = (0 ; −1) et milieu de [BD] = ((3−3)/2 ; (5−7)/2) = (0 ; −1). Les diagonales se coupent bien en leur milieu ✓.
u(6,−9), v(−4,6). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? Si oui, exprimer u en fonction de v.
Déterminant : 6×6 − (−4)×(−9) = 36 − 36 = 0, donc u et v sont colinéaires.
On cherche k tel que u = k·v : −4k = 6 donne k = −3/2, et 6k = −9 donne aussi k = −3/2. Cohérent, donc u = −3/2 · v.
Dans une base (i,j), on donne u = 2i − 3j et v = i + 4j. Écrire w = 3i − 10j sous la forme au + bv, où a et b sont des réels à déterminer.
On cherche a, b réels tels que a(2,−3) + b(1,4) = (3,−10), ce qui donne le système :
De la première équation : b = 3 − 2a. On substitue dans la seconde :
Puis b = 3 − 2×2 = −1. Donc w = 2u − v.
Vérification : 2u = (4,−6) ; 2u−v = (4−1 ; −6−4) = (3,−10) = w ✓
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
D'après la relation de Chasles, AB + BC = ?
Pour A(1,3), B(5,7), les coordonnées de AB sont :
La norme du vecteur u(3,4) est :
u(x,y) et v(x′,y′) sont colinéaires si et seulement si :
Le milieu de [AB] avec A(2,−1), B(6,5) a pour coordonnées :
Pour u(1,2), v(0,−1), le vecteur 2u−3v vaut :
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si :
ABCD est un parallélogramme si et seulement si :
Une base du plan est formée par :
Pour u(−2,5), les coordonnées de l'opposé −u sont :
