Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Définition, propriétés, applications au calcul de longueurs et d'angles.
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, noté u·v, est le réel défini par :
u·v = ||u|| × ||v|| × cos(u,v) où (u,v) est l'angle géométrique entre les deux vecteurs.
Dans un repère orthonormé, pour u(x,y) et v(x′,y′) : u·v = x×x′ + y×y′
Cas particulier : u·u = ||u||²
u(3,4), v(1,2) : u·v = 3×1+4×2 = 3+8 = 11
u(2,−1), v(−3,5) : u·v = 2×(−3)+(−1)×5 = −6−5 = −11
• Symétrie : u·v = v·u
• Bilinéarité : u·(v+w) = u·v + u·w et (k·u)·v = k(u·v)
• Formule développée : (u+v)·(u+v) = ||u||² + 2u·v + ||v||²
u·v = 0 ⟺ u et v sont orthogonaux (ou l'un des deux est nul)
u(3,2), v(4,−6) : u·v = 3×4+2×(−6) = 12−12 = 0 → u et v sont orthogonaux.
Si u et v sont non nuls : cos(u,v) = (u·v) / (||u|| × ||v||)
Pour un triangle ABC, l'angle en A se calcule via AB·AC = (x_B−x_A)(x_C−x_A) + (y_B−y_A)(y_C−y_A)
A(0,0), B(4,0), C(0,3). AB(4,0), AC(0,3). AB·AC = 4×0+0×3 = 0.
Comme AB·AC = 0, l'angle BAC est droit (90°) : le triangle ABC est rectangle en A (on reconnaît le triangle 3-4-5).
Calculer u·v dans chaque cas :
Pour u(1,1), calculer u·u puis en déduire ||u||.
u·u = 1×1+1×1 = 2. Comme u·u = ||u||², on a ||u||² = 2, donc ||u|| = √2.
A(1,2), B(4,2), C(1,6). Calculer AB, AC, AB·AC et en déduire la nature de l'angle en A.
AB(4−1 ; 2−2) = (3 ; 0). AC(1−1 ; 6−2) = (0 ; 4).
AB·AC = 3×0+0×4 = 0. Donc AB et AC sont orthogonaux : l'angle BAC est droit (90°).
u(3,−4), v(1,2). Calculer u·v, ||u||, ||v||, puis cos(u,v).
u·v = 3×1+(−4)×2 = 3−8 = −5.
||u|| = √(9+16) = √25 = 5. ||v|| = √(1+4) = √5.
Ce qui correspond à un angle d'environ 116,6° (angle obtus, cohérent avec un cosinus négatif).
Triangle ABC avec A(0,0), B(6,0), C(2,4).
1. AB(6,0), AC(2,4). AB·AC = 6×2+0×4 = 12. ||AB|| = 6, ||AC|| = √(4+16) = √20 = 2√5.
2. AB² = 6² = 36. AC² = (2√5)² = 20. BC(2−6 ; 4−0) = (−4 ; 4), donc BC² = 16+16 = 32.
3. Calcul du membre de droite :
On retrouve exactement BC² = 32, ce qui confirme la relation d'Al-Kashi ✓.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
u(2,3)·v(4,−1) = ?
Si u·v = 0 (u,v non nuls), cela signifie que :
u·u est égal à :
En coordonnées, le produit scalaire de u(x,y) et v(x′,y′) est :
Le produit scalaire est symétrique, ce qui signifie :
Pour u(1,0), v(0,1) : u·v = ?
Si ||u||=3, ||v||=5, et l'angle entre u et v vaut 60°, alors u·v = ?
A(0,0), B(3,0), C(0,3) : AB·AC = ?
Pour u(5,−3), v(3,5) : u·v = ?
La formule donnant cos(u,v) est :
