Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Définition, construction, propriétés d'associativité.
Soient A et B deux points et α, β deux réels tels que α + β ≠ 0. Le barycentre G du système {(A, α), (B, β)} est l'unique point vérifiant :
α·GA⃗ + β·GB⃗ = 0⃗
Pour tout point M du plan :
MG⃗ = (α/(α+β))·MA⃗ + (β/(α+β))·MB⃗
En particulier, si M = G, cela redonne la définition ci-dessus.
Si α = β (les coefficients sont égaux), G est le milieu de [AB] : on retrouve MG⃗ = (1/2)MA⃗ + (1/2)MB⃗, la formule usuelle du milieu.
Le barycentre G de {(A, α), (B, β)} appartient toujours à la droite (AB). On a la relation :
AG⃗ = (β/(α+β))·AB⃗
Construire G, barycentre de {(A, 3), (B, 1)}.
On a α + β = 4, donc AG⃗ = (1/4)·AB⃗. G est le point de (AB) situé au quart de la distance AB en partant de A. Comme α > β, G est plus proche du point le plus « lourd », c'est-à-dire A.
Le barycentre de {(A, α), (B, β)} est le même que celui de {(A, kα), (B, kβ)} pour tout réel k ≠ 0. Seul le rapport α/β compte, pas les valeurs absolues des coefficients.
Soient A, B, C trois points et α, β, γ trois réels tels que α + β + γ ≠ 0. Le barycentre G de {(A, α), (B, β), (C, γ)} est l'unique point vérifiant :
α·GA⃗ + β·GB⃗ + γ·GC⃗ = 0⃗
Si α = β = γ, G est appelé isobarycentre ou centre de gravité du triangle ABC.
Si α + β ≠ 0, on peut remplacer A et B par leur barycentre partiel H = bar{(A, α), (B, β)} affecté du coefficient (α + β) : le barycentre de {(A, α), (B, β), (C, γ)} est égal au barycentre de {(H, α+β), (C, γ)}.
Cette propriété est très utile pour construire géométriquement le barycentre de trois points à la règle.
Construire G = bar{(A, 1), (B, 1), (C, 2)}.
On regroupe A et B (coefficients égaux) : H = milieu de [AB] = bar{(A,1),(B,1)}, affecté du coefficient 1+1 = 2.
G = bar{(H, 2), (C, 2)} : comme les coefficients sont égaux, G est le milieu de [HC].
Soit [AB] un segment. Construire les barycentres suivants et indiquer leur position sur (AB) :
Montrer que bar{(A, 2), (B, 6)} et bar{(A, 1), (B, 3)} désignent le même point.
Les coefficients (2, 6) s'obtiennent en multipliant (1, 3) par 2. Comme le barycentre est inchangé lorsqu'on multiplie tous les coefficients par un même réel non nul (propriété d'homogénéité), les deux systèmes définissent le même point.
On peut aussi vérifier avec la formule : pour (1,3), AG⃗ = (3/4)AB⃗ ; pour (2,6), AG⃗ = (6/8)AB⃗ = (3/4)AB⃗. Même résultat.
ABC est un triangle. Construire G = bar{(A, 1), (B, 1), (C, 2)} en utilisant le théorème d'associativité.
On regroupe A et B (coefficients égaux à 1) : leur barycentre partiel est H, le milieu de [AB], affecté du coefficient 1 + 1 = 2.
G = bar{(H, 2), (C, 2)} : coefficients égaux, donc G est le milieu de [HC].
Construction : tracer le milieu H de [AB], puis le milieu de [HC] : c'est le point G cherché.
Dans un repère, A(1 ; 2) et B(7 ; −4). Calculer les coordonnées du barycentre G de {(A, 1), (B, 2)}.
Les coordonnées du barycentre s'obtiennent en pondérant les coordonnées de chaque point :
x_G = (1×1 + 2×7)/(1+2) = (1+14)/3 = 15/3 = 5 y_G = (1×2 + 2×(−4))/(1+2) = (2−8)/3 = −6/3 = −2
G a pour coordonnées (5 ; −2).
ABC est un triangle. G est son centre de gravité (isobarycentre de A, B, C). I est le milieu de [BC].
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
La définition du barycentre G de {(A, α), (B, β)} est :
Si α = β, le barycentre G de {(A, α), (B, β)} est :
bar{(A, 2), (B, 6)} et bar{(A, 1), (B, 3)} désignent :
Pour G = bar{(A, 1), (B, 3)}, on a :
L'isobarycentre de trois points A, B, C d'un triangle est aussi appelé :
Pour un système {(A, α), (B, β)}, la condition d'existence du barycentre est :
A(0 ; 0), B(6 ; 0). Le barycentre de {(A, 2), (B, 1)} a pour abscisse :
Le théorème d'associativité permet de :
Dans un triangle ABC, le centre de gravité G est situé sur la médiane [AI] (I milieu de [BC]) :
Le barycentre G de {(A, α), (B, β)} appartient toujours :
