Objectif Général 2 — Géométrie vectorielle du plan. Ensembles de points caractérisés par une relation métrique (lignes de niveau), théorème de Pythagore et formule d'Al-Kashi dans un triangle quelconque.
Étant donnés des points fixes A, B du plan et une relation métrique dépendant d'un point mobile M, on appelle ligne de niveau l'ensemble des points M du plan qui vérifient cette relation.
| Relation vérifiée par M | Nature de l'ensemble |
|---|---|
| MA = k (k > 0 constante) | Cercle de centre A et de rayon k |
| MA = MB | Médiatrice du segment [AB] |
| MA² + MB² = k | Cercle de centre I, milieu de [AB] (si k assez grand) |
| MA² − MB² = k | Droite perpendiculaire à (AB) |
| MA⃗·MB⃗ = k | Cercle de centre I, milieu de [AB] (si k ≥ −AB²/4) |
Si I est le milieu de [AB], alors pour tout point M du plan :
MA² + MB² = 2 MI² + AB²/2
Soit A et B tels que AB = 6 cm et I le milieu de [AB]. Cherchons l'ensemble des points M tels que MA² + MB² = 50.
D'après le théorème de la médiane : 2 MI² + AB²/2 = 50, donc 2 MI² + 18 = 50, soit MI² = 16, donc MI = 4. L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon 4 cm.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors :
BC² = AB² + AC²
(le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés).
Si dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A (l'angle droit est opposé au plus grand côté).
Un triangle a pour côtés 9 cm, 12 cm et 15 cm. Comme 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15², le triangle est rectangle, l'angle droit étant opposé au côté de 15 cm (le plus grand).
Dans un triangle ABC, on note a = BC, b = CA, c = AB les longueurs des côtés, opposés respectivement aux angles Â, B̂, Ĉ.
Dans tout triangle ABC :
a² = b² + c² − 2bc·cos(Â) b² = a² + c² − 2ac·cos(B̂) c² = a² + b² − 2ab·cos(Ĉ)
Cette formule généralise le théorème de Pythagore : si  = 90°, alors cos(Â) = 0 et l'on retrouve a² = b² + c².
La formule d'Al-Kashi se réécrit pour obtenir un angle connaissant les trois côtés :
cos(Â) = (b² + c² − a²) / (2bc)
Triangle ABC avec AB = c = 8 cm, AC = b = 5 cm et  = 60°. Alors :
BC² = b² + c² − 2bc·cos(Â) = 25 + 64 − 2×5×8×0,5 = 89 − 40 = 49
Donc BC = 7 cm.
A et B sont deux points fixés du plan avec AB = 6 cm. Décrire l'ensemble des points M tels que :
Un triangle RST est rectangle en S, avec RS = 6 cm et ST = 8 cm. Calculer RT.
Le triangle RST est rectangle en S, donc RT est l'hypoténuse. D'après Pythagore :
RT² = RS² + ST² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
Donc RT = 10 cm.
Un triangle a pour côtés EF = 5 cm, FG = 12 cm, EG = 13 cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.
Le plus grand côté est EG = 13 cm. On compare EG² avec EF² + FG² :
EF² + FG² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 EG² = 13² = 169
Les deux valeurs sont égales, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F (sommet opposé au plus grand côté EG).
Dans un triangle ABC, on donne AB = 8 cm, AC = 5 cm et  = 60°. Calculer BC.
On applique la formule d'Al-Kashi avec a = BC, b = AC = 5, c = AB = 8 :
BC² = AB² + AC² − 2×AB×AC×cos(Â) BC² = 64 + 25 − 2×8×5×cos(60°) BC² = 89 − 80×0,5 = 89 − 40 = 49
Donc BC = 7 cm.
A et B sont deux points fixés du plan avec AB = 6 cm et I le milieu de [AB].
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
L'ensemble des points M tels que MA = 4 cm est :
L'ensemble des points M tels que MA = MB est :
Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore s'écrit :
Un triangle a pour côtés 9, 12 et 15. Est-il rectangle ?
La formule d'Al-Kashi pour le côté a opposé à l'angle  s'écrit :
Quand  = 90°, la formule d'Al-Kashi devient :
Dans un triangle rectangle en A avec AB = 6, AC = 8, quelle est la longueur BC ?
La formule permettant de retrouver un angle  à partir des trois côtés est :
L'ensemble des points M tels que MA² + MB² = k (k assez grand) est :
L'ensemble des points M tels que MA² − MB² = k est :
